Informações relevantes que temos (os elementos da matriz): as linhas são
\text{R}_1=(1,3,-1,2),
\text{R}_2=(3,10,-3,6),
\text{R}_3=(4,13,-3,8),
\text{R}_4=(8,26,-7,17).
Passo 2
Plano de ataque (sem resolver ainda): vou usar operações elementares sobre linhas para triangularizar A e obter o determinante como produto das entradas da diagonal (explicarei por que isso é válido). Para a inversa vou aplicar as mesmas operações à matriz aumentada [A\mid I] e realizar eliminação até obter [I\mid A^{-1}].
Lembrete rápido sobre efeito das operações no determinante:
Somar um múltiplo de uma linha a outra linha não altera o determinante.
Trocar duas linhas muda o sinal do determinante.
Multiplicar uma linha por escalar k multiplica o determinante por k.
Vou, portanto, usar apenas operações do tipo “somar múltiplos de uma linha a outra” (que não mudam o determinante) para facilitar.
Passo 3
Eliminação para triangularizar A. Aplicar operações que não alteram o determinante.
Todas as operações foram do tipo “somar múltiplo de uma linha a outra”, que NÃO mudam o determinante. Assim o determinante de A é igual ao determinante desta triangular, que é o produto das entradas da diagonal.
Passo 4
Cálculo do determinante: como a matriz triangular tem diagonal \,1,1,1,1, o determinante é
\det(A)=1\cdot 1\cdot 1\cdot 1 = 1.
Rápida interpretação: o fato de \det(A)=1 significa que a transformação linear associada a A preserva (sem escalar) a orientação e o volume elemento; também indica que A é invertível.
Passo 5
Agora calculo a inversa usando eliminação Gauss-Jordan sobre a matriz aumentada [A\mid I]. Vou repetir as mesmas operações que fiz no passo de triangularização, mas aplicando-as também ao lado direito (à identidade). Começo com
À esquerda já temos uma matriz triangular com pivôs 1; agora faço a eliminação para obter a identidade (eliminação acima dos pivôs), aplicando as mesmas operações ao lado direito.
Passo 7
Eliminação acima dos pivôs (Gauss-Jordan) para chegar a [I\mid A^{-1}]:
Elimino a entrada na coluna 4 da \text{R}_1: \text{R}_1 \leftarrow \text{R}_1 - 2\text{R}_4.
Lado direito: [1,0,0,0] -2[-1,-1,-1,1] = [1+2,\,0+2,\,0+2,\,0-2] = [3,2,2,-2].
A esquerda: [1,3,-1,2] -2[0,0,0,1] = [1,3,-1,0].
Elimino a entrada na coluna 3 da \text{R}_1: \text{R}_1 \leftarrow \text{R}_1 + \text{R}_3.
Lado direito: [3,2,2,-2] + [-1,-1,1,0] = [2,1,3,-2].
A esquerda: [1,3,-1,0] + [0,0,1,0]=[1,3,0,0].
Elimino a entrada na coluna 2 da \text{R}_1: \text{R}_1 \leftarrow \text{R}_1 - 3\text{R}_2.
Lado direito: [2,1,3,-2] -3[-3,1,0,0] = [2+9,\,1-3,\,3-0,\, -2-0] = [11,-2,3,-2].
A esquerda: [1,3,0,0] -3[0,1,0,0] = [1,0,0,0].
Após essas operações, a parte esquerda é a identidade e a parte direita é a inversa. A aumentada final é
Concluo que a inversa A^{-1} é a parte direita da aumentada final. Para checar rapidamente (apenas uma verificação simples), pode-se multiplicar A pela primeira coluna de A^{-1} e ver que resulta em e_1; isso foi verificado durante a eliminação e confirma a consistência.