Q1: Uma equação paramétrica do plano
, onde
são parâmetros, é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O enunciado dá o plano definido por
e pede qual das alternativas apresenta uma equação paramétrica desse plano na forma “ponto +
·vetor1 +
·vetor2”.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A equação do plano é
. - Cada alternativa fornece um ponto base
e dois vetores diretores e . - Precisamos verificar, para cada alternativa, se:
- Os vetores diretores são ortogonais ao vetor normal do plano (ou seja, pertencem ao plano).
- O ponto base satisfaça a equação do plano (ou seja, esteja no plano).
- Os vetores diretores sejam linearmente independentes (para realmente gerarem o plano).
A alternativa que cumprir todas as três condições é a correta.
Passo 2
Breve revisão do que usar (aula rápida e prática):
- Um plano pode ser escrito parametricamente como
onde
é um ponto do plano e
são vetores diretores que ficam dentro do plano.
- O vetor normal do plano dado por
é
- Um vetor
pertence ao plano (ou é diretor do plano) se e somente se for ortogonal ao normal, isto é,
Aqui
é o produto escalar (dot product). Para
e
,
- Para verificar se um ponto
pertence ao plano, basta substituir na equação do plano e checar se ela é satisfeita:
Passo 3
Vou eliminar rapidamente alternativas cujos vetores diretores não são ortogonais ao normal
. Para cada alternativa calculei
e
.
Alternativas (A) e (B): vetores diretores são
e
.
Calculemos
Calculemos
Portanto
não é ortogonal a
; (A) e (B) estão fora.
Passo 4
Alternativas (C) e (D): vetores diretores são
e
.
Calculemos
Calculemos
Logo
não é ortogonal a
; (C) e (D) estão fora.
Passo 5
Restam (E) e (F), que têm os mesmos vetores diretores
e
. Verifico ortogonalidade:
Logo ambos
e
são ortogonais a
e, portanto, estão no plano. Também note que
e
não são múltiplos escalares um do outro (porque têm componentes não proporcionais), então são linearmente independentes e geram um plano.
Passo 6
Agora verificar o ponto base de (E) e de (F).
Para (E) o ponto é
. Substituindo na equação do plano:
portanto
satisfaz a equação do plano — ou seja,
está no plano.
Para (F) o ponto é
. Substituindo:
logo
não está no plano.
Passo 7
Conclusão lógica: (E) tem vetores diretores que pertencem ao plano, ponto base que pertence ao plano, e vetores diretores linearmente independentes. (F) tem vetores diretores corretos, mas o ponto base não pertence ao plano. As demais alternativas falharam já na ortogonalidade dos vetores diretores. Portanto a alternativa correta é (E).
Resposta
(E)