Q1: Uma equação paramétrica do plano
\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ;-5 x-3 y-2 z=5\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(A) \left(1,-1,-\frac{7}{2}\right)+t(11,0,-23)+s(0,5,-8)
(B) \left(-1,1,-\frac{3}{2}\right)+t(11,0,-23)+s(0,5,-8)
(C) \left(-1,1, \frac{3}{2}\right)+t(10,0,-22)+s(0,3,-6)
(D) \left(-1,1,-\frac{3}{2}\right)+t(10,0,-22)+s(0,3,-6)
(E) \left(1,-1,-\frac{7}{2}\right)+t(8,0,-20)+s(0,-8,12)
(F) \left(-1,1, \frac{3}{2}\right)+t(8,0,-20)+s(0,-8,12)

Passo 1

O enunciado dá o plano definido por -5x-3y-2z=5 e pede qual das alternativas apresenta uma equação paramétrica desse plano na forma “ponto + t·vetor1 + s·vetor2”.
Informações relevantes:
  • A equação do plano é -5x-3y-2z=5.
  • Cada alternativa fornece um ponto base P e dois vetores diretores v e w.
  • Precisamos verificar, para cada alternativa, se:
    1. Os vetores diretores são ortogonais ao vetor normal do plano (ou seja, pertencem ao plano).
    2. O ponto base satisfaça a equação do plano (ou seja, esteja no plano).
    3. Os vetores diretores sejam linearmente independentes (para realmente gerarem o plano).
      A alternativa que cumprir todas as três condições é a correta.

Passo 2

Breve revisão do que usar (aula rápida e prática):
  • Um plano pode ser escrito parametricamente como
P + t\,v + s\,w,
onde P é um ponto do plano e v,w são vetores diretores que ficam dentro do plano.
  • O vetor normal do plano dado por -5x-3y-2z=5 é
n = (-5,-3,-2).
  • Um vetor u pertence ao plano (ou é diretor do plano) se e somente se for ortogonal ao normal, isto é,
n\cdot u = 0.
Aqui \cdot é o produto escalar (dot product). Para n=(n_1,n_2,n_3) e u=(u_1,u_2,u_3),
n\cdot u = n_1u_1 + n_2u_2 + n_3u_3.
  • Para verificar se um ponto P=(x_0,y_0,z_0) pertence ao plano, basta substituir na equação do plano e checar se ela é satisfeita:
-5x_0 -3y_0 -2z_0 \stackrel{?}{=} 5.

Passo 3

Vou eliminar rapidamente alternativas cujos vetores diretores não são ortogonais ao normal n=(-5,-3,-2). Para cada alternativa calculei n\cdot v e n\cdot w.
Alternativas (A) e (B): vetores diretores são v=(11,0,-23) e w=(0,5,-8).
Calculemos
n\cdot v = (-5)\cdot 11 + (-3)\cdot 0 + (-2)\cdot(-23) = -55 + 46 = -9 \neq 0.
Portanto v não é ortogonal a n; (A) e (B) estão fora.

Passo 4

Alternativas (C) e (D): vetores diretores são v=(10,0,-22) e w=(0,3,-6).
Calculemos
n\cdot v = (-5)\cdot 10 + (-3)\cdot 0 + (-2)\cdot(-22) = -50 + 44 = -6 \neq 0.
Logo v não é ortogonal a n; (C) e (D) estão fora.

Passo 5

Restam (E) e (F), que têm os mesmos vetores diretores v=(8,0,-20) e w=(0,-8,12). Verifico ortogonalidade:
n\cdot v = (-5)\cdot 8 + (-3)\cdot 0 + (-2)\cdot(-20) = -40 + 40 = 0,
n\cdot w = (-5)\cdot 0 + (-3)\cdot(-8) + (-2)\cdot 12 = 24 -24 = 0.
Logo ambos v e w são ortogonais a n e, portanto, estão no plano. Também note que v e w não são múltiplos escalares um do outro (porque têm componentes não proporcionais), então são linearmente independentes e geram um plano.

Passo 6

Agora verificar o ponto base de (E) e de (F).
Para (E) o ponto é P_E=(1,-1,-\tfrac{7}{2}). Substituindo na equação do plano:
-5\cdot 1 -3\cdot(-1) -2\cdot\left(-\tfrac{7}{2}\right) = -5 + 3 + 7 = 5,
portanto P_E satisfaz a equação do plano — ou seja, P_E está no plano.
Para (F) o ponto é P_F=(-1,1,\tfrac{3}{2}). Substituindo:
-5\cdot(-1) -3\cdot 1 -2\cdot\left(\tfrac{3}{2}\right) = 5 -3 -3 = -1 \neq 5,
logo P_F não está no plano.

Passo 7

Conclusão lógica: (E) tem vetores diretores que pertencem ao plano, ponto base que pertence ao plano, e vetores diretores linearmente independentes. (F) tem vetores diretores corretos, mas o ponto base não pertence ao plano. As demais alternativas falharam já na ortogonalidade dos vetores diretores. Portanto a alternativa correta é (E).

Resposta

(E)

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