Resolva os sistemas lineares usando eliminação de Gauss ou a eliminação de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+x_{2}=1 \\\\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=-1 \\\\ 5 x_{1}+3 x_{2}+x_{3}=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear com três incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3}\,\) e três equações: \[\begin{cases} 2x_{1}+x_{2}=1,\\[4pt] 3x_{1}+2x_{2}+x_{3}=-1,\\[4pt] 5x_{1}+3x_{2}+x_{3}=1. \end{cases}
O que se pede: resolver o sistema (encontrar (,x_{1},x_{2},x_{3},]) usando eliminação de Gauss ou Gauss–Jordan.]

Passo 2

Breve explicação do método (Gauss–Jordan) — tipo de “aula rápida”:
  • Representa-se o sistema por uma matriz aumentada e aplica-se operações elementares nas linhas até obter uma forma escalonada reduzida (onde a parte esquerda idealmente fica com pivôs iguais a 1 e zeros fora deles).
  • Operações elementares permitidas (não mudam o conjunto solução): trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar não nulo e somar a uma linha outra linha multiplicada por um escalar.
  • Objetivo prático: transformar a matriz aumentada até detectar a solução diretamente ou ver inconsistência (uma linha do tipo 0\\\ 0\\\ 0 \mid b com b\neq0 significa 0=b, impossível).
Agora montamos a matriz aumentada do sistema.
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 3 & 2 & 1 & -1\\[4pt] 5 & 3 & 1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 3

Escolhemos o primeiro pivô na posição (1,1). Para facilitar os cálculos, vamos transformar esse pivô em 1 dividindo a primeira linha por 2.
Operação: \,R_{1}\leftarrow\frac{1}{2}R_{1}.
Cálculo linha a linha:
  • 2/2=1,
  • 1/2=\dfrac{1}{2},
  • 0/2=0,
  • 1/2=\dfrac{1}{2}.
Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \dfrac{1}{2} & 0 & \dfrac{1}{2}\\[6pt] 3 & 2 & 1 & -1\\[4pt] 5 & 3 & 1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Eliminamos as entradas abaixo do pivô 1 na coluna 1 para zerá‑las, usando combinações das linhas.
Operações:
R_{2}\leftarrow R_{2}-3R_{1},\qquad R_{3}\leftarrow R_{3}-5R_{1}.
Calculando R_{2}-3R_{1}:
  • Coluna 1: 3-3\cdot1=0.
  • Coluna 2: 2-3\cdot\dfrac{1}{2}=2-\dfrac{3}{2}=\dfrac{4}{2}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}.
  • Coluna 3: 1-3\cdot0=1.
  • RHS: -1-3\cdot\dfrac{1}{2}=-1-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{2}{2}-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{5}{2}.
Calculando R_{3}-5R_{1}:
  • Coluna 1: 5-5\cdot1=0.
  • Coluna 2: 3-5\cdot\dfrac{1}{2}=3-\dfrac{5}{2}=\dfrac{6}{2}-\dfrac{5}{2}=\dfrac{1}{2}.
  • Coluna 3: 1-5\cdot0=1.
  • RHS: 1-5\cdot\dfrac{1}{2}=1-\dfrac{5}{2}=\dfrac{2}{2}-\dfrac{5}{2}=-\dfrac{3}{2}.
Matriz após eliminação:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \dfrac{1}{2} & 0 & \dfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & \dfrac{1}{2} & 1 & -\dfrac{5}{2}\\[6pt] 0 & \dfrac{1}{2} & 1 & -\dfrac{3}{2} \end{array}\right]]

Passo 5

Agora lidamos com a segunda coluna. O pivô candidato em (2,2) é \dfrac{1}{2}. Vamos torná‑lo 1 dividindo a segunda linha por \dfrac{1}{2}.
Operação: \,R_{2}\leftarrow\frac{1}{\tfrac{1}{2}}R_{2}=2R_{2}.
Calculando 2R_{2}:
  • Coluna 1: 0\cdot2=0.
  • Coluna 2: \dfrac{1}{2}\cdot2=1.
  • Coluna 3: 1\cdot2=2.
  • RHS: -\dfrac{5}{2}\cdot2=-5.
Matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \dfrac{1}{2} & 0 & \dfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 1 & 2 & -5\\[6pt] 0 & \dfrac{1}{2} & 1 & -\dfrac{3}{2} \end{array}\right]]

Passo 6

Eliminamos a entrada abaixo do pivô em (2,2) (ou seja, zerar a posição (3,2)) usando a linha 2.
Operação: \,R_{3}\leftarrow R_{3}-\dfrac{1}{2}R_{2}.
Calculando R_{3}-\dfrac{1}{2}R_{2}:
  • Coluna 1: 0-\dfrac{1}{2}\cdot0=0.
  • Coluna 2: \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot1=0.
  • Coluna 3: 1-\dfrac{1}{2}\cdot2=1-1=0.
  • RHS: -\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\cdot(-5)=-\dfrac{3}{2}+ \dfrac{5}{2}=\dfrac{2}{2}=1.
A terceira linha fica [\,0\;0\;0\mid 1\,]. A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \dfrac{1}{2} & 0 & \dfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 1 & 2 & -5\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 7

Interpretação da última linha: ela representa a equação
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}+0\cdot x_{3}=1,
ou seja \,0=1\,, que é uma contradição impossível. Isso significa que não existe nenhum conjunto (x_{1},x_{2},x_{3}) que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Conclusão lógica: o sistema é incompatível — não tem solução.

Resposta

O sistema é incompatível: não há solução.

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