Atividade. 1.4. Encontre uma solução de equilíbrio para as E.D.O.'s (encontre essa solução sem resolver a E.D.O.)
d xd t=(1-t^2)(1-x^2)

Passo 1

O enunciado nos dá a E.D.O.
d xd t = (1 - t^2)(1 - x^2)
e pede para encontrar uma solução de equilíbrio sem resolver a E.D.O. O conteúdo aqui é o conceito de solução de equilíbrio (ou solução estacionária), ou seja, uma solução constante x(t)=C que faz tfracdxdt=0 para todo t.

Passo 2

Uma solução de equilíbrio x(t)=C satisfaz
dxdt=0
para todo t. Logo, basta impor
(1 - t^2)(1 - C^2) = 0
para todo t.

Passo 3

O termo (1 - t^2) varia com t e não pode ser zero para todo t. Portanto, a única forma de zerar o produto em toda a reta de tempo é ter
1 - C^2 = 0
ou seja
C^2 = 1 Longrightarrow C = pm 1

Passo 4

Concluímos que as soluções constantes que aniquilam a derivada são
x(t) equiv 1 e x(t) equiv -1

Resposta

As soluções de equilíbrio são
x(t) = 1 e x(t) = -1

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