Exercício 4 (ELJ 37)
Sejam f: R^2 R e u in R^2 dados por f(x, y)=cx^2 yx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0) e u=(1raiz2, 1raiz2). Mostre que partial fpartial u(0,0) neqlang<=nabla f(0,0), urang<=. Explique.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx^2yx^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0),
e o vetor
u=l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)
Precisamos calcular as derivadas parciais em (0,0) para obter nabla f(0,0), depois a derivada direcional partial fpartial u(0,0) e comparar com lang<=nabla f(0,0),urang<=.]

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais em (0,0) pelas definições
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
fy(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00-0h=0

Passo 3

Logo
nabla f(0,0)=(fx(0,0),fy(0,0))=(0,0) Longrightarrow lang<=nabla f(0,0),urang<==0

Passo 4

A derivada direcional ao longo de u em (0,0) é
partial fpartial u(0,0) =limtto0fl(tur)-f(0,0)t =limtto0fl(tfractraiz2,tfractraiz2r)t
Para (x,y)=l(tfractraiz2,tfractraiz2r)neq(0,0) temos
fl(tfractraiz2,tfractraiz2r) =l(tfractraiz2r)^2,tfractraiz2 l(tfractraiz2r)^2+l(tfractraiz2r)^2 =tfract^32raiz22cdottfract^22 =t2raiz2
Logo
partial fpartial u(0,0) =limtto0tfract2raiz2t =12raiz2

Passo 5

Observe que
partial fpartial u(0,0)=12raiz2neq0 =lang<=nabla f(0,0),urang<=
Isso mostra que a fórmula
partial fpartial u(0,0) =lang<=nabla f(0,0),urang<=
só vale se f for diferenciável em (0,0), mas aqui ela não é. Portanto as duas expressões são diferentes.

Resposta

partial fpartial u(0,0)=12raiz2 e lang<=nabla f(0,0),urang<==0

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