Exercício 4 (ELJ 37) Sejam f: R^2 R e u in R^2 dados por f(x, y)=cx^2 yx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0) e u=(1raiz2, 1raiz2). Mostre que partial fpartial u(0,0) neqlang<=nabla f(0,0), urang<=. Explique. Passo 1O enunciado define a função f(x,y)= dfracx^2yx^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0), e o vetor u=l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) Precisamos calcular as derivadas parciais em (0,0) para obter nabla f(0,0), depois a derivada direcional partial fpartial u(0,0) e comparar com lang<=nabla f(0,0),urang<=.] Passo 2Calculamos as derivadas parciais em (0,0) pelas definições fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0, fy(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00-0h=0 Passo 3Logo nabla f(0,0)=(fx(0,0),fy(0,0))=(0,0) Longrightarrow lang<=nabla f(0,0),urang<==0 Passo 4A derivada direcional ao longo de u em (0,0) é partial fpartial u(0,0) =limtto0fl(tur)-f(0,0)t =limtto0fl(tfractraiz2,tfractraiz2r)t Para (x,y)=l(tfractraiz2,tfractraiz2r)neq(0,0) temos fl(tfractraiz2,tfractraiz2r) =l(tfractraiz2r)^2,tfractraiz2 l(tfractraiz2r)^2+l(tfractraiz2r)^2 =tfract^32raiz22cdottfract^22 =t2raiz2 Logo partial fpartial u(0,0) =limtto0tfract2raiz2t =12raiz2 Passo 5Observe que partial fpartial u(0,0)=12raiz2neq0 =lang<=nabla f(0,0),urang<= Isso mostra que a fórmula partial fpartial u(0,0) =lang<=nabla f(0,0),urang<= só vale se f for diferenciável em (0,0), mas aqui ela não é. Portanto as duas expressões são diferentes. Resposta partial fpartial u(0,0)=12raiz2 e lang<=nabla f(0,0),urang<==0 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosDetermine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando convenientemente: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot e^{2 n}+1}{e^{2 n}} Atividade. 1.4. Encontre uma solução de equilíbrio para as E.D.O.'s (encontre essa solução sem resolver a E.D.O.) y^prime=8 x y Atividade. 1.4. Encontre uma solução de equilíbrio para as E.D.O.'s (encontre essa solução sem resolver a E.D.O.) d xd t=(1-t^2)(1-x^2)