Questão 03:

Se f é uma função diferenciável, prove que
dd x[x^2 f(x)]=2 x f(x)+x^2 d f(x)d x

Passo 1

O enunciado pede para provar que, sendo f diferenciável, vale
ddxl[x^2f(x)r]=2x,f(x)+x^2,df(x)dx
O conteúdo principal aqui é a regra do produto de derivadas, que podemos demonstrar a partir da definição do derivada como limite.

Passo 2

Começamos pela definição de derivada:
ddxl[x^2f(x)r] =limhto0(x+h)^2,f(x+h)-x^2,f(x)h

Passo 3

Reescrevemos o numerador, somando e subtraindo x^2f(x+h):
(x+h)^2f(x+h)-x^2f(x) =l((x+h)^2-x^2r)f(x+h) + x^2l(f(x+h)-f(x)r)

Passo 4

Substituindo na definição e separando em dois limites:
ddxl[x^2f(x)r] =limhto0(x+h)^2-x^2h,f(x+h) + x^2limhto0f(x+h)-f(x)h

Passo 5

Avaliamo-os individualmente:
1. (x+h)^2 - x^2h = x^2 + 2xh + h^2 - x^2h = 2x + h, logo
limh to 0 (2x + h) = 2x e também limh to 0 f(x + h) = f(x).
2. Por definição de derivada de f,
limh to 0 f(x + h) - f(x)h = df(x)dx.

Passo 6

Somando os resultados:
ddxl[x^2f(x)r] =2xcdot f(x)+x^2cdotdf(x)dx

Resposta

ddxl[x^2f(x)r] =2x,f(x)+x^2,df(x)dx

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