Questão 03:
Se
é uma função diferenciável, prove que
Passo 1
O enunciado pede para provar que, sendo
diferenciável, vale
O conteúdo principal aqui é a regra do produto de derivadas, que podemos demonstrar a partir da definição do derivada como limite.
Passo 2
Começamos pela definição de derivada:
Passo 3
Reescrevemos o numerador, somando e subtraindo
:
Passo 4
Substituindo na definição e separando em dois limites:
Passo 5
Avaliamo-os individualmente:
.
, logo
e também
.
. Por definição de derivada de
,
.
Passo 6
Somando os resultados: