Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot e^{2 n}+1}{e^{2 n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty (-1)^n,e^2n+1e^2n
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos simplificar o termo geral e usar o teste da forma do termo para decidir.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral
an = (-1)^n e^2n + 1e^2n
Dividindo cada parcela por e^2n, obtemos
an = (-1)^n + e^-2n

Passo 3

Para qualquer série, um teste básico é verificar se limntoinftyan=0. Aqui
limntoinftyan = limntoinftyl((-1)^n + e^-2nr)
Como e^-2nto0 mas (-1)^n oscila entre -1 e +1, o limite não existe (nem tende a zero).

Passo 4

Pelo teste do termo geral, se limntoinftyanneq0, a série diverge. Logo, não há convergência nem absoluta nem condicional.

Resposta

A série diverge.

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