Atividade Extra ENG 275
OBS.: X representa o último algarismo da sua matrícula. Z representa o penúltimo algarismo da matrícula.
Ex.: Matrícula 107619 Rightarrow X=9 ; Z=1
Questão 1 Um reator cilíndrico com um diâmetro interno de 5 Z 0 m m foi implantado em uma unidade de tratamento de esgotos. No fundo desse reator há uma abertura de diâmetro 59 mm por onde o resíduo incompressível escoa de maneira uniforme verticalmente para baixo, numa velocidade aproximada V=raiz 2 g y, onde y é a altura do fundo do tanque até à superfície livre e g a aceleração da gravidade ( g=9,81 ). Inicialmente, o tanque está cheio à uma altura de 5 X m m. Determine a profundidade da água no tempo t=Z X segundos.

Passo 1

O enunciado descreve o escoamento de um líquido num tanque cilíndrico que drena por um orifício no fundo. Aplicamos a lei de Torricelli, que dá a velocidade de saída do jato como
V = raiz2,g,y,
sendo y(t) a altura da coluna de líquido no tempo t e g=9,81. O objetivo é achar y em t=10Z+X s, dado que inicialmente y(0)=y0=(50+X),mm e o diâmetro do tanque é D=(500+10Z),mm.

Passo 2

Definimos as áreas de secção transversal do tanque e do orifício:
At = pi4D^2, Ae = pi4d^2,
onde d=59,mm=0,059,m e D=(500+10Z),mm=(0,5+0,01Z),m. A conservação de massa impõe
At,dydt = -,Ae,V ;;Longrightarrow;; pi4D^2dydt = -pi4d^2raiz2g,y
Cancelando pi/4, fica
dydt = -d^2D^2,raiz2g,y

Passo 3

Separe variáveis e integre de t=0 (altura y0) até t (altura y):
integraly0^y!y^-tfrac12dy = -d^2D^2raiz2gintegral0^t!dt ;;Longrightarrow;; 2l(raizy-raizy0r) = -d^2D^2raiz2g;t

Passo 4

Isolando raizy e elevando ao quadrado, obtemos
raizy = raizy0 - d^22,D^2raiz2g;t,
y(t) = gl[raizy0 - d^22,D^2raiz2g;tgr]^2
Substituindo
y0 = 50+X1000,m,; D = 0,5+0,01Z,; d=0,059,; t=10Z+X,
chegamos à expressão final.

Resposta

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