A partir da curva norma reduzida Z(0,1), determine as probabilidades de
\mathrm{P}(\mathrm{Z}<0,92)

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória padrão (curva norma reduzida) e pede a probabilidade
\mathrm{P}(\mathrm{Z}<0,92).
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável \mathrm{Z} segue a distribuição normal padrão, isto é, \mathrm{Z}\sim \mathrm{N}(0,1).
  • É solicitado o valor da função de distribuição acumulada em z=0,92, ou seja \mathrm{P}(\mathrm{Z}<0,92).

Passo 2

O que é a distribuição normal padrão e como se relaciona com a probabilidade pedida.
  • A densidade de probabilidade da normal padrão é
\varphi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^{2}/2},
onde z é a variável aleatória padrão. Aqui \sqrt{2\pi} é apenas uma constante de normalização para que a área total seja 1.
  • A função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão é
\Phi(z)=\int_{-\infty}^{z} \varphi(t)\,dt.
Essa função \Phi(z) dá exatamente a probabilidade pedida quando colocamos z=0,92:
\mathrm{P}(\mathrm{Z}<0,92)=\Phi(0,92).
Observação importante: a integral acima não tem solução em termos de funções elementares, por isso usamos tabelas da normal padrão (tabelas de \Phi) ou calculadoras/computadores para obter valores numéricos.

Passo 3

Como ler uma tabela da normal padrão (passo prático que você fará na prova sem calculadora, se a prova dá tabela).
  • As tabelas de \Phi normalmente têm as linhas correspondendo à primeira casa decimal (por exemplo 0,9) e as colunas correspondendo à segunda casa decimal (por exemplo 0,02). Para z=0,92 vai-se à linha 0,9 e à coluna 0,02.
  • A entrada nessa interseção fornece \Phi(0,92), ou seja \mathrm{P}(\mathrm{Z}<0,92).

Passo 4

Consulta numérica (peguei o dado na tabela padrão da normal reduzida).
  • Ao consultar a tabela padrão da normal reduzida na linha 0,9 e coluna 0,02, obtém-se o valor
\Phi(0,92)=0,8212.
(Essa é a forma padrão de obter a área acumulada até z=0,92.)

Passo 5

Verificação e observações úteis para a prova (usar simetria e complemento se precisar de outras probabilidades rapidamente).
  • A simetria da normal padrão dá a identidade
\Phi(-z)=1-\Phi(z).
Assim, por exemplo, \mathrm{P}(\mathrm{Z}<-0,92)=1-\Phi(0,92)=1-0,8212=0,1788.
  • O complemento fornece a cauda à direita:
\mathrm{P}(\mathrm{Z}>0,92)=1-\mathrm{P}(\mathrm{Z}<0,92)=1-0,8212=0,1788.

Passo 6

Resumo rápido e incentivo: a resposta é um número que se obtém direto na tabela de \Phi. Se na sua prova houver tabela, proceda exatamente como no Passo 3; se puder usar calculadora, a maioria calcula \Phi(0,92) diretamente. Você está indo bem — prática lendo a tabela deixa esse processo muito rápido!

Resposta

\mathrm{P}(\mathrm{Z}<0,92)=0,8212

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