Atividade 2,0 - Grupo de até 04 pessoas. Usar fontes bibliográficas
Pesquisar e fazer um breve histórico da origem da Álgebra Vetorial e sua relação com Números Complexos.
Pesquisar e fazer um breve histórico da origem da Álgebra Vetorial e sua relação com Números Complexos.
Passo 1
Entender o enunciado: precisamos elaborar um breve histórico da origem da Álgebra Vetorial e mostrar como ela se relaciona com os Números Complexos, usando fontes bibliográficas confiáveis.
Passo 2
Levantar as primeiras aparições dos números que hoje chamamos de complexos: no século XVI, matemáticos italianos como Cardano e Bombelli definiram raízes de polinômios negativos para resolver equações cúbicas (ver Cardano,
; Bombelli,
). Esse trabalho pioneiro introduziu ideias de “quantidades imaginárias”.
Passo 3
Apresentar a interpretação geométrica dos complexos: no início do século XIX, Jean Robert Argand (
) e Carl Friedrich Gauss (
) associaram cada número complexo
a um ponto
no plano. Esse passo tornou evidente a analogia entre operações com complexos e transformações geométricas (rotação e escala).
Passo 4
Descrever a consolidação da Álgebra Vetorial: em
, Hermann Grassmann publicou sua Ausdehnungslehre, definindo multivetores e produto exterior. Quase simultaneamente, em
, William Rowan Hamilton inventou os quaternions, estendendo complexos a quatro componentes
com produto não comutativo. Essas obras lançaram as bases da Álgebra Vetorial moderna (Grassmann,
; Hamilton,
).
Passo 5
Explicar a relação entre os complexos e vetores: o plano complexo é o primeiro exemplo de espaço vetorial real de dimensão
, com operações de soma e multiplicação por escalar. A visualização de rotações via multiplicação por
ilustra perfeitamente como um número complexo atua como vetor no plano, antecipando conceitos de espaço vetorial e transformações lineares (Needham,
; Kline,
).
Resposta
A história da Álgebra Vetorial começa indissociavelmente ligada aos Números Complexos. No século XVI, Girolamo Cardano e Rafael Bombelli trabalhavam com raízes negativas ao resolver equações cúbicas, introduzindo as “quantidades imaginárias” (Cardano,
; Bombelli,
). No início do século XIX, Jean Robert Argand (
) e Carl Friedrich Gauss (
) deram à essas quantidades uma interpretação geométrica clara, representando cada
como o ponto
num plano e mostrando que multiplicar por
equivale a rotacionar vetores (Argand,
; Gauss,
).
Em paralelo, Hermann Grassmann publicou em
sua Ausdehnungslehre, criando um sistema algébrico de multivetores com operações de soma e produto exterior, e William Rowan Hamilton, em
, formulou os quaternions, generalizando complexos para dimensões superiores (Hamilton,
; Grassmann,
). Juntas, essas contribuições formaram o cerne da Álgebra Vetorial: um estudo sistemático de espaços com operações lineares e produtos vetoriais.
Assim, os números complexos surgiram como o primeiro espaço vetorial real de dimensão
, onde a multiplicação complexa é interpretada como transformação linear e rotação no plano. Essa ligação histórica mostra que a Álgebra Vetorial nasceu da abstração geométrica dos complexos, evoluindo depois para altas dimensões e estruturas mais gerais.
Fontes bibliográficas:
Cardano, G. (
). Ars Magna.
Bombelli, R. (
). L’Algebra.
Argand, J. R. (
). Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires.
Gauss, C. F. (
). Théorie des fonctions analytiques.
Hamilton, W. R. (
). On Quaternions; or a new system of imaginaries in algebra.
Grassmann, H. (
). Die Ausdehnungslehre.
Needham, T. (
). Visual Complex Analysis.
Kline, M. (
). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times.