Resolver e classificar os sistemas abaixo:
cx+y-3 z+w=-10 3 x-y+2 z+4 w=7 -2 x-3 y+5 z-w=15 2 x-3 y+4 z+4 w=12

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas (x,y,z,w). O conteúdo aqui é eliminação de Gauss para triangularizar a matriz aumentada e depois usar retro-substituição para obter a solução geral.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e eliminamos x nas linhas 2, 3 e 4 usando combinações lineares com a linha 1:
1 & 1 & -3 & 1 &mid& -10 3 & -1 & 2 & 4 &mid& 7 -2& -3 & 5 & -1 &mid& 15 2 & -3 & 4 & 4 &mid& 12
Aplicamos
R2 R2-3,R1,
R3 R3+2,R1,
R4 R4-2,R1.
O resultado nas linhas 2–4 é, respectivamente,
[,0;,-4;;11;;1mid37], [,0;,-1;,-1;;1mid-5], [,0;,-5;;10;;2mid32]

Passo 3

Usamos agora a segunda linha pivot (0,-4,11,1mid37) para eliminar y em R 3 e R 4. Escolhendo fator -1-4 para R 3 e -5-4 para R 4, obtemos após multiplicar convenientemente por 4 para evitar frações nas linhas 3 e 4:
[,0;0;-15;3mid-57](tanto para R3 quanto para R4)
Agora a matriz está assim em forma escalonada:
1 & 1 & -3 & 1 &mid& -10 0 & -4 & 11 & 1 &mid& 37 0 & 0 & -15& 3 &mid& -57 0 & 0 & 0 & 0 &mid& 0
Vemos que R 4 é nula, o que indica redundância e posto igual a 3.

Passo 4

Fazendo retro-substituição:
da R 3: -15z+3w=-57 implies dividindo por -3:
5z - w = 19 Longrightarrow w = 5z - 19
da R 2: -4y +11z + w = 37 implies
y = 11z+w -374 = 11z + (5z-19) -374 = 4z -14
da R 1: x + y -3z + w = -10 implies
x = -10 -y +3z - w = -10 -(4z-14) +3z - (5z-19) = 23 - 6z
Logo a solução geral usa parâmetro t=z:
x = 23 -6t, y = 4t -14, z = t, w = 5t -19, tinR

Passo 5

Como há um parâmetro livre, o sistema é compatível indeterminado (posto 3<4 incógnitas).

Resposta

A solução geral é
(x,y,z,w) = l(23-6t,;4t-14,;t,;5t-19r), tinR,
e o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções).

Exercícios relacionados