Resolver e classificar os sistemas abaixo:
c2 x-y+4 z=0 3 x+6 y-18 z=0

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema homogêneo com duas equações e três incógnitas:
O conteúdo é resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss e classificação segundo o posto (rank) da matriz: se o posto for igual ao número de incógnitas temos solução única (SPD), se for menor temos infinitas soluções (SPI) e, em caso de inconsistência, nenhum solução (SI).

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos x da segunda linha:
2 & -1 & 4 & 0 3 & 6 & -18 & 0
Fazendo R2 2R2 - 3R1, a segunda linha fica
l(2cdot3 - 3cdot2,;2cdot6 - 3cdot(-1),;2cdot(-18)-3cdot4,;0r) =(0,;15,;-48,;0)
Assim o sistema em forma escalonada é
2x - y + 4z = 0,
15y - 48z = 0

Passo 3

Da segunda equação temos
15y - 48z = 0 Longrightarrow y = 4815,z = 165,z
Substituindo esse y na primeira:
2x - 165z + 4z = 0 Longrightarrow 2x + 45z = 0 Longrightarrow x = -25,z

Passo 4

Como z é livre, definimos z = t. Logo a solução geral é
(x,y,z) = l(-tfrac25t,;tfrac165t,;tr) = tl(-tfrac25,,tfrac165,,1r), tinR

Passo 5

O sistema é homogêneo e consistente, o posto da matriz de coeficientes é 2 (duas linhas independentes) e o número de incógnitas é 3. Como posto<3, há infinitas soluções.

Resposta

A solução geral é
(x,y,z)=tl(-tfrac25,,tfrac165,,1r), tinR,
e o sistema é SPI (possível indeterminado, infinitas soluções).

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