Mostre que se X1, X2 e X3 são soluções do sistema linear A X=B, então 2 X1+3 X2-4 X3 é também solução de A X=B.

Passo 1

O enunciado diz que X1,X2,X3 são soluções do sistema linear
A,X = B,
ou seja,
A,X1 = B, A,X2 = B, A,X3 = B
O que precisamos mostrar é que o vetor
X = 2X1 + 3X2 - 4X3
também satisfaz A,X = B. Para isso vamos usar a propriedade fundamental de linearidade da multiplicação de matriz por vetor:
  1. homogeneidade em escalares: A(c,X)=c,(A,X),
  2. aditividade: A(X+Y)=A,X + A,Y.

Passo 2

Aplicando a linearidade de A ao vetor X=2X1+3X2-4X3, temos
A,(2X1+3X2-4X3) = A(2X1) + A(3X2) - A(4X3)

Passo 3

Usando homogeneidade em cada termo:
A(2X1) = 2,(A,X1) = 2B, A(3X2) = 3,(A,X2) = 3B, A(4X3) = 4,(A,X3) = 4B
Logo,
A,(2X1+3X2-4X3) = 2B + 3B - 4B

Passo 4

Somando os coeficientes em 2B+3B-4B obtemos
2B + 3B - 4B = (2 + 3 - 4),B = 1cdot B = B
Portanto
A,(2X1+3X2-4X3) = B,
o que significa que 2X1+3X2-4X3 é de fato solução do sistema.

Resposta

Como mostramos que A,(2X1+3X2-4X3)=B, concluímos que 2X1+3X2-4X3 é solução de A,X=B.

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