Atividade:
Para obter a equação de uma reta no espaço, você precisa de dois ingredientes: um ponto pelo qual a reta passa e a direção da reta. A direção da reta é obtida por meio do vetor diretor da reta, o qual é um vetor paralelo à reta considerada.
FRAGELLI, R. R.; AMORIM, R. G. G.; RISPOLI, V. C. Geometria analítica e álgebra linear. Maringá: Unicesumar, 2018. Reimpresso em 2023. p. 143
Sobre as retas, responda:
Calcule o ângulo entre as retas:
\begin{array}{ll} & x=2+t \\\ r_{1}: & y=1-t \\\ & z=3+2 t \end{array}
r_{2}: \quad \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{3}

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre as retas r_{1} e r_{2} no espaço. Para isso, vamos extrair os vetores diretores de cada reta e usar a fórmula do cosseno do ângulo entre vetores:
\cos\theta = \frac{\mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{v}_{2}}{\|\mathbf{v}_{1}\|\,\|\mathbf{v}_{2}\|}.

Passo 2

Da forma paramétrica de r_{1}:
x=2+t,\quad y=1-t,\quad z=3+2t
vemos que o vetor diretor é
\mathbf{v}_{1}=(1,\,-1,\,2).

Passo 3

Da forma simétrica de r_{2}:
\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{3}=s
temos a parametrização
x=1+2s,\quad y=-2+s,\quad z=3s
e, portanto, o vetor diretor é
\mathbf{v}_{2}=(2,\,1,\,3).

Passo 4

Calculamos o produto escalar e as normas:
\mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{v}_{2}=1\cdot2+(-1)\cdot1+2\cdot3=7,
\|\mathbf{v}_{1}\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{6}, \quad \|\mathbf{v}_{2}\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+3^{2}}=\sqrt{14}.

Passo 5

Substituindo na fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{7}{\sqrt{6}\,\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{84}} = \frac{7}{2\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{21}}{6}.
Logo
\theta = \operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{\sqrt{21}}{6}\bigr) \approx 40,1^\circ.

Resposta

\displaystyle \theta = \operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{\sqrt{21}}{6}\bigr)\approx 40,1^\circ

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