Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
a) Se \vec{u}=\vec{v}, então |\vec{u}|=||\vec{v}|.
b) Se |\vec{u}|=||\vec{v}|, então \vec{u}=\vec{v}.
c) Se \vec{u} // \vec{v}, então \vec{u}=\vec{v}.
d) Se \vec{u}=\vec{v}, então \vec{u} // \vec{v}.
e) Se \vec{w}=\vec{u}+\vec{v}, então |\vec{w}|=||\vec{u}|+|\vec{v}|.
f) |\vec{w}|=||\vec{u}|+|\vec{v}|, então \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} são paralelos.
g) Se \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}, então A B C D (vértices nesta ordem) é paralelogramo.
h) |5 \vec{v}|=|-5 \vec{v}|=5||\vec{v}|.
i) Os vetores 3 \vec{v} e -4 \vec{v} são paralelos e de mesmo sentido.
j) Se \vec{u} // \vec{v},|\vec{u}|=2 e ||\vec{v}|=4, então \vec{v}=2 \vec{u} ou \vec{v}=-2 \vec{u}.
k) Se ||\vec{v}|=3, o versor de -10 \vec{v} é -\frac{\vec{v}}{3}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada afirmação sobre vetores é verdadeira ou falsa. Vamos usar propriedades básicas de vetores: igualdade e norma, paralelismo, desigualdade triangular, vetores em quadrilátero, multiplicação escalar e definição de versor.

Passo 2

Analisando a) “Se \vec{u}=\vec{v}, então |\vec{u}|=|\vec{v}|”. Quando dois vetores são iguais, todos os seus componentes coincidem, logo suas normas também coincidem. Portanto a) é verdadeira.

Passo 3

Analisando b) “Se |\vec{u}|=|\vec{v}|, então \vec{u}=\vec{v}”. Dois vetores podem ter mesma norma mas sentidos opostos, por exemplo \vec{u}=\vec{v} ou \vec{u}=-\vec{v}. Logo norma igual não garante igualdade do vetor. b) é falsa.

Passo 4

Analisando c) “Se \vec{u}//\vec{v}, então \vec{u}=\vec{v}”. Paralelismo significa existir escalar k tal que \vec{u}=k\,\vec{v}, mas k pode ser diferente de 1. Portanto c) é falsa.

Passo 5

Analisando d) “Se \vec{u}=\vec{v}, então \vec{u}//\vec{v}”. Vetores iguais são trivially colineares, pois \vec{u}=1\cdot\vec{v}. Logo d) é verdadeira.

Passo 6

Analisando e) “Se \vec{w}=\vec{u}+\vec{v}, então |\vec{w}|=|\vec{u}|+|\vec{v}|”. A desigualdade triangular diz
|\vec{u}+\vec{v}|\le|\vec{u}|+|\vec{v}|,
com igualdade apenas se \vec{u} e \vec{v} forem paralelos no mesmo sentido. Como não há essa hipótese, e.g. \vec{u}\perp\vec{v} quebra a igualdade, e) é falsa.

Passo 7

Analisando f) “Se |\vec{w}|=|\vec{u}|+|\vec{v}|, então \vec{u},\vec{v} e \vec{w} são paralelos.” Aqui não há relação de soma entre \vec{w} e \vec{u}+\vec{v}, apenas uma igualdade de comprimentos. Por exemplo \vec{u}=(1,0), \vec{v}=(0,1), \vec{w}=(2,0) |\vec{w}|=2 e |\vec{u}|+|\vec{v}|=2, mas \vec{v} não é paralelo a \vec{w}. Logo f) é falsa.

Passo 8

Analisando g) “Se \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}, então ABCD é paralelogramo.” Da igualdade vetorial \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} segue que AB e DC são paralelos, iguais e de mesmo sentido. Isso basta para garantir que ABCD seja paralelogramo. Portanto g) é verdadeira.

Passo 9

Analisando h) “ |5\vec{v}|=|-5\vec{v}|=5\,|\vec{v}|”. Pela propriedade \|a\vec{v}\|=|a|\,\|\vec{v}\|, obtemos |5\vec{v}|=5|\vec{v}| e |-5\vec{v}|=5|\vec{v}|. Logo h) é verdadeira.

Passo 10

Analisando i) “Os vetores 3\vec{v} e -4\vec{v} são paralelos e de mesmo sentido.” Eles são certamente paralelos, mas têm sentidos opostos (um coeficiente é positivo e o outro negativo). Portanto i) é falsa.

Passo 11

Analisando j) “Se \vec{u}//\vec{v}, |\vec{u}|=2 e |\vec{v}|=4, então \vec{v}=2\vec{u} ou \vec{v}=-2\vec{u}.” Paralelismo garante \vec{v}=k\vec{u} e |k|=|\vec{v}|/|\vec{u}|=2,Ou seja k=2 ou -2. Logo j) é verdadeira.

Passo 12

Analisando k) “Se |\vec{v}|=3, o versor de -10\vec{v} é -\frac{\vec{v}}{3}.” O versor (vetor unitário) de -10\vec{v} é
\frac{-10\vec{v}}{\bigl\|-10\vec{v}\bigr\|} =\frac{-10\vec{v}}{10\,|\vec{v}|} =-\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} =-\frac{\vec{v}}{3}.
Logo k) é verdadeira.

Resposta

a) Verdadeira
b) Falsa
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Falsa
f) Falsa
g) Verdadeira
h) Verdadeira
i) Falsa
j) Verdadeira
k) Verdadeira

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