Atividade:
Para obter a equação de uma reta no espaço, você precisa de dois ingredientes: um ponto pelo qual a reta passa e a direção da reta. A direção da reta é obtida por meio do vetor diretor da reta, o qual é um vetor paralelo à reta considerada.
FRAGELLI, R. R.; AMORIM, R. G. G.; RISPOLI, V. C. Geometria analítica e álgebra linear. Maringá: Unicesumar, 2018. Reimpresso em 2023. p. 143
Sobre as retas, responda:
Calcule o valor de m para que as retas sejam ortogonais:
\begin{array}{ll} & x=-2 t \\\ r_{1}: & y=4+m t \\\ & z=1+\mathrm{t} \end{array}
\begin{array}{ll} & x=3+t \\\ r_{2}: & y=-1-2 \mathrm{t} \\\ z & =2 \mathrm{t} \end{array}

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço em forma paramétrica e pede o valor de m tal que elas sejam ortogonais. O conteúdo aqui é de geometria analítica: precisamos extrair o vetor diretor de cada reta e usar a condição de ortogonalidade entre dois vetores.

Passo 2

Para a reta r_{1}, as equações são
x=-2t,\quad y=4+m\,t,\quad z=1+t
Logo o vetor diretor é
\mathbf{v}_{1}=(-2,\;m,\;1).
Para a reta r_{2}, as equações são
x=3+t,\quad y=-1-2t,\quad z=2t
Logo o vetor diretor é
\mathbf{v}_{2}=(1,\;-2,\;2).

Passo 3

Duas retas são ortogonais se, e somente se, o produto escalar de seus vetores diretores for zero:
\mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{v}_{2}=0.

Passo 4

Calculando o produto escalar:
\mathbf{v}_{1}\cdot\mathbf{v}_{2} =(-2)\cdot1 + m\cdot(-2) + 1\cdot2 =-2 -2m +2.
Para ser zero,
-2 - 2m + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -2m = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 0.

Resposta

m = 0

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