Obtenha a equação vetorial da reta r que dista \frac{\sqrt{20}}{3} do ponto P(1,0,1), está contida em \pi: x-4 y+z=0 e é paralela a s: P=(1,1,0)+t(2,1,2).

Passo 1

O enunciado pede a reta r que
  • está contida em \pi: x-4y+z=0,
  • é paralela a s de direção (2,1,2),
  • e cuja distância ao ponto P(1,0,1) é \tfrac{\sqrt{20}}{3}.
Para resolver, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta em \mathbb{R}^3:
d(P,r)=\frac{\bigl\|(P-A)\times v\bigr\|}{\|v\|},
onde A é um ponto em r e v é o vetor diretor de r.

Passo 2

Como r é paralela a s, tomamos o vetor diretor
v = (2,1,2),
cujo módulo é \|v\| = \sqrt{2^2+1^2+2^2}=3.

Passo 3

Para garantir que A pertença à \pi, escolhemos um ponto base em \pi e um vetor de direção complementar a v.
Um ponto em \pi é, por exemplo,
Q=(1,0,-1),
pois 1 - 4\cdot0 + (-1)=0.
Um vetor em \pi ortogonal ao normal (1,-4,1) e a v é
w=(1,0,-1).
Assim, todo ponto A\in\pi pode ser escrito como
A(s)=Q + s\,w = (1+s,\,0,\,-1-s).

Passo 4

O vetor de posição de P até A(s) é
P - A(s) = (1,0,1) - (1+s,0,-1-s) = (-s,\,0,\,2+s).
Calculamos agora
(P-A(s))\times v = (-s,0,2+s)\times(2,1,2) = \bigl(-(2+s),\,4+4s,\,-s\bigr).
O quadrado da norma é
\|(P-A(s))\times v\|^2 =(2+s)^2 + (4+4s)^2 + s^2 =18s^2+36s+20.
Logo a distância vale
d(s)=\frac{\sqrt{18s^2+36s+20}}{3}.

Passo 5

Queremos d(s)=\tfrac{\sqrt{20}}{3}. Então
\sqrt{18s^2+36s+20}=\sqrt{20} \quad\Longrightarrow\quad 18s^2+36s+20=20 \quad\Longrightarrow\quad 18s(s+2)=0,
portanto s=0 ou s=-2.

Passo 6

Para s=0 obtemos
A_1=(1,0,-1),
e para s=-2 obtemos
A_2=(-1,0,1).
Assim há duas retas que satisfazem as condições:

Resposta

r_1:\;(x,y,z) = (1,0,-1) + t\,(2,1,2),
r_2:\;(x,y,z) = (-1,0,1) + t\,(2,1,2).

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