Obtenha a equação vetorial da reta r que dista \frac{\sqrt{20}}{3} do ponto P(1,0,1), está contida em \pi: x-4 y+z=0 e é paralela a s: P=(1,1,0)+t(2,1,2).
Passo 1
O enunciado pede a reta r que
está contida em \pi: x-4y+z=0,
é paralela a s de direção (2,1,2),
e cuja distância ao ponto P(1,0,1) é \tfrac{\sqrt{20}}{3}.
Para resolver, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta em \mathbb{R}^3:
d(P,r)=\frac{\bigl\|(P-A)\times v\bigr\|}{\|v\|},
onde A é um ponto em r e v é o vetor diretor de r.
Passo 2
Como r é paralela a s, tomamos o vetor diretor
v = (2,1,2),
cujo módulo é \|v\| = \sqrt{2^2+1^2+2^2}=3.
Passo 3
Para garantir que A pertença à \pi, escolhemos um ponto base em \pi e um vetor de direção complementar a v.
Um ponto em \pi é, por exemplo,
Q=(1,0,-1),
pois 1 - 4\cdot0 + (-1)=0.
Um vetor em \pi ortogonal ao normal (1,-4,1) e a v é
w=(1,0,-1).
Assim, todo ponto A\in\pi pode ser escrito como
A(s)=Q + s\,w = (1+s,\,0,\,-1-s).
Passo 4
O vetor de posição de P até A(s) é
P - A(s) = (1,0,1) - (1+s,0,-1-s) = (-s,\,0,\,2+s).
Calculamos agora
(P-A(s))\times v = (-s,0,2+s)\times(2,1,2) = \bigl(-(2+s),\,4+4s,\,-s\bigr).