Vou te guiar passo a passo, explicando cada ideia como se estivéssemos resolvendo isso na prova juntos — sem pular etapas.]
Passo 2
O que significa multiplicar pela matriz de mudança de base? Aqui vai a ideia didática e prática:
A matriz P_{\alpha \rightarrow \beta} transforma coordenadas de um vetor escritas na base \alpha para coordenadas do mesmo vetor escritas na base \beta.
Explicando por que: cada coluna de P_{\alpha \rightarrow \beta} é o vetor daquela base \alpha expresso na base \beta. Se você tem [\mathbf{v}]_{\alpha} = \left[\begin{array}{c}x\y\z\end{array}\right], então [\mathbf{v}]_{\beta} é x vezes a primeira coluna mais y vezes a segunda coluna mais z vezes a terceira coluna de P_{\alpha\rightarrow\beta}. Outra forma equivalente é fazer o produto matriz-vetor (cada entrada do resultado é um produto escalar entre uma linha da matriz e o vetor de coordenadas).
Passo 3
Aplicando a fórmula [\mathbf{v}]_{\beta}=P_{\alpha \rightarrow \beta}\,[\mathbf{v}]_{\alpha}, escrevemos explicitamente o produto:
Agora vamos calcular componente a componente usando a definição de multiplicação de matriz por vetor: cada entrada do resultado é a soma dos produtos dos elementos da linha correspondente da matriz pelos elementos do vetor.]
Passo 4
Calculamos a primeira componente de [\mathbf{v}]_{\beta} (linha 1 da matriz vezes o vetor):
Interpretação alternativa (útil na prova para checar erros): podemos ver o produto como combinação linear das colunas de P_{\alpha\rightarrow\beta} com coeficientes dados por [\mathbf{v}]_{\alpha}. As colunas de P_{\alpha\rightarrow\beta} são
Se você calcular essa combinação coluna a coluna obtém exatamente as três componentes que achamos nos passos anteriores (é uma boa checagem mental na prova).