Atividade - Segunda Unidade; Assunto: Coordenadas e matriz de mudança de base
Sejam \alpha e \beta bases de \mathbb{R}^{3}. Sabendo que
P_{\alpha \rightarrow \beta}=\left[\begin{array}{ccc} 3 & -4 & -3 \\\\ 2 & 3 & 3 \\\\ 3 & -3 & -3 \end{array}\right]
\mathrm{e}[\mathbf{v}]_{\alpha}=\left[\begin{array}{c}1 \\\\ 2 \\\\ -1\end{array}\right], determine [\mathbf{v}]_{\beta}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Está dada a matriz de mudança de base P_{\alpha \rightarrow \beta}:
P_{\alpha \rightarrow \beta}=\left[\begin{array}{ccc} 3 & -4 & -3 \\\\ 2 & 3 & 3 \\\\ 3 & -3 & -3 \end{array}\right]
  • Está dado o vetor coordenado de \mathbf{v} na base \alpha:
[\mathbf{v}]_{\alpha}=\left[\begin{array}{c}1 \\[4pt] 2 \\[4pt] -1\end{array}\right]
  • O que se pede: determinar [\mathbf{v}]_{\beta}.
Vou te guiar passo a passo, explicando cada ideia como se estivéssemos resolvendo isso na prova juntos — sem pular etapas.]

Passo 2

O que significa multiplicar pela matriz de mudança de base? Aqui vai a ideia didática e prática:
  • A matriz P_{\alpha \rightarrow \beta} transforma coordenadas de um vetor escritas na base \alpha para coordenadas do mesmo vetor escritas na base \beta.
  • Em fórmula, a relação é
[\mathbf{v}]_{\beta}=P_{\alpha \rightarrow \beta}\,[\mathbf{v}]_{\alpha}.
  • Explicando por que: cada coluna de P_{\alpha \rightarrow \beta} é o vetor daquela base \alpha expresso na base \beta. Se você tem [\mathbf{v}]_{\alpha} = \left[\begin{array}{c}x\y\z\end{array}\right], então [\mathbf{v}]_{\beta} é x vezes a primeira coluna mais y vezes a segunda coluna mais z vezes a terceira coluna de P_{\alpha\rightarrow\beta}. Outra forma equivalente é fazer o produto matriz-vetor (cada entrada do resultado é um produto escalar entre uma linha da matriz e o vetor de coordenadas).

Passo 3

Aplicando a fórmula [\mathbf{v}]_{\beta}=P_{\alpha \rightarrow \beta}\,[\mathbf{v}]_{\alpha}, escrevemos explicitamente o produto:
[\mathbf{v}]_{\beta}= \left[\begin{array}{ccc} 3 & -4 & -3 \\\\ 2 & 3 & 3 \\\\ 3 & -3 & -3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c}1 \\[4pt] 2 \\[4pt] -1\end{array}\right].
Agora vamos calcular componente a componente usando a definição de multiplicação de matriz por vetor: cada entrada do resultado é a soma dos produtos dos elementos da linha correspondente da matriz pelos elementos do vetor.]

Passo 4

Calculamos a primeira componente de [\mathbf{v}]_{\beta} (linha 1 da matriz vezes o vetor):
\text{(1ª componente)} = 3\cdot 1 + (-4)\cdot 2 + (-3)\cdot(-1).ª
Fazendo as contas passo a passo:
3\cdot 1 = 3,\qquad (-4)\cdot 2 = -8,\qquad (-3)\cdot(-1)=3.
Somando:
3 + (-8) + 3 = 3-8+3 = -2.
Portanto a primeira componente vale -2.

Passo 5

Calculamos a segunda componente (linha 2 da matriz vezes o vetor):
\text{(2ª componente)} = 2\cdot 1 + 3\cdot 2 + 3\cdot(-1).ª
Passo a passo:
2\cdot 1 = 2,\qquad 3\cdot 2 = 6,\qquad 3\cdot(-1) = -3.
Somando:
2 + 6 + (-3) = 2+6-3 = 5.
Portanto a segunda componente vale 5.

Passo 6

Calculamos a terceira componente (linha 3 da matriz vezes o vetor):
\text{(3ª componente)} = 3\cdot 1 + (-3)\cdot 2 + (-3)\cdot(-1).ª
Passo a passo:
3\cdot 1 = 3,\qquad (-3)\cdot 2 = -6,\qquad (-3)\cdot(-1)=3.
Somando:
3 + (-6) + 3 = 3-6+3 = 0.
Portanto a terceira componente vale 0.

Passo 7

Interpretação alternativa (útil na prova para checar erros): podemos ver o produto como combinação linear das colunas de P_{\alpha\rightarrow\beta} com coeficientes dados por [\mathbf{v}]_{\alpha}. As colunas de P_{\alpha\rightarrow\beta} são
\mathbf{c}_1=\left[\begin{array}{c}3\\\ 2\\\ 3\end{array}\right],\quad \mathbf{c}_2=\left[\begin{array}{c}-4\\\ 3\\\ -3\end{array}\right],\quad \mathbf{c}_3=\left[\begin{array}{c}-3\\\ 3\\\ -3\end{array}\right].
Então
[\mathbf{v}]_{\beta}=1\cdot \mathbf{c}_1 + 2\cdot \mathbf{c}_2 + (-1)\cdot \mathbf{c}_3.
Se você calcular essa combinação coluna a coluna obtém exatamente as três componentes que achamos nos passos anteriores (é uma boa checagem mental na prova).

Resposta

[\mathbf{v}]_{\beta}=\left[\begin{array}{c}-2 \\[4pt] 5 \\[4pt] 0\end{array}\right]]

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