Atividade - Segunda Unidade; Assunto: Coordenadas e matriz de mudança de base
Sejam \alpha, \beta e \gamma bases de \mathbb{R}^{3} tais que
P_{\alpha \rightarrow \gamma}=\left[\begin{array}{ccc} -4 & 3 & 4 \\\\ 3 & -1 & -4 \\\\ -3 & -2 & 3 \end{array}\right] \quad \text { e } \quad P_{\gamma \rightarrow \beta}=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 2 & -3 \\\\ -3 & 2 & 3 \\\\ -4 & 2 & 3 \end{array}\right] .
Determine P_{\alpha \rightarrow \beta}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes de mudança de base entre três bases \alpha,\gamma,\beta de \mathbb{R}^{3} e pede que a gente encontre P_{\alpha\rightarrow\beta}. As informações fornecidas são:
P_{\alpha \rightarrow \gamma}=\begin{pmatrix} -4 & 3 & 4 \\\\ 3 & -1 & -4 \\\\ -3 & -2 & 3 \end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad P_{\gamma \rightarrow \beta}=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -3 \\\\ -3 & 2 & 3 \\\\ -4 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
A pergunta é: determine P_{\alpha\rightarrow\beta}.

Passo 2

Vamos entender o que essas matrizes significam (explicação didática, sem pular etapas). Se v é um vetor qualquer, suas coordenadas nas bases são relacionadas por
[v]_{\gamma}=P_{\alpha\rightarrow\gamma}\,[v]_{\alpha}
e
[v]_{\beta}=P_{\gamma\rightarrow\beta}\,[v]_{\gamma}.
Substituindo a primeira na segunda obtemos
[v]_{\beta}=P_{\gamma\rightarrow\beta}\left(P_{\alpha\rightarrow\gamma}\,[v]_{\alpha}\right)=(P_{\gamma\rightarrow\beta}\,P_{\alpha\rightarrow\gamma})\,[v]_{\alpha}.
Isso mostra que a matriz que vai diretamente de \alpha para \beta é o produto
P_{\alpha\rightarrow\beta}=P_{\gamma\rightarrow\beta}\,P_{\alpha\rightarrow\gamma}.
Em palavras: compor mudanças de base corresponde a multiplicar as matrizes na ordem correta (da segunda mudança pela primeira).

Passo 3

Agora vamos calcular o produto. Denoto
A=P_{\alpha\rightarrow\gamma}=\begin{pmatrix} -4 & 3 & 4 \\\\ 3 & -1 & -4 \\\\ -3 & -2 & 3 \end{pmatrix},\qquad B=P_{\gamma\rightarrow\beta}=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -3 \\\\ -3 & 2 & 3 \\\\ -4 & 2 & 3 \end{pmatrix},
e queremos
P_{\alpha\rightarrow\beta}=B A.

Passo 4

Lembrete sobre multiplicação de matrizes 3×3 (método): o elemento na linha i e coluna j do produto C=BA é
c_{ij}=\sum_{k=1}^{3} b_{ik}\,a_{kj}.
Ou seja, pegamos a linha i de B e a coluna j de A e fazemos o produto escalar. Vou calcular entrada por entrada, mostrando todos os termos para você conseguir copiar na prova sem erro.

Passo 5

Cálculo da primeira linha de C=BA. A primeira linha de B é (3,2,-3).
  • Entrada c_{11}: produto com a primeira coluna de A, que é (-4,3,-3):
c_{11}=3\cdot(-4)+2\cdot 3+(-3)\cdot(-3)=-12+6+9=3.
  • Entrada c_{12}: produto com a segunda coluna de A, que é (3,-1,-2) (notei que peguei -2 da terceira linha segunda coluna de A):
c_{12}=3\cdot 3+2\cdot(-1)+(-3)\cdot(-2)=9-2+6=13.
  • Entrada c_{13}: produto com a terceira coluna de A, que é (4,-4,3):
c_{13}=3\cdot 4+2\cdot(-4)+(-3)\cdot 3=12-8-9=-5.
Portanto a primeira linha de C é (3,13,-5).

Passo 6

Cálculo da segunda linha de C. A segunda linha de B é (-3,2,3).
  • Entrada c_{21}: com a primeira coluna de A:
c_{21}=(-3)\cdot(-4)+2\cdot 3+3\cdot(-3)=12+6-9=9.
  • Entrada c_{22}: com a segunda coluna de A:
c_{22}=(-3)\cdot 3+2\cdot(-1)+3\cdot(-2)=-9-2-6=-17.
  • Entrada c_{23}: com a terceira coluna de A:
c_{23}=(-3)\cdot 4+2\cdot(-4)+3\cdot 3=-12-8+9=-11.
Portanto a segunda linha de C é (9,-17,-11).

Passo 7

Cálculo da terceira linha de C. A terceira linha de B é (-4,2,3).
  • Entrada c_{31}: com a primeira coluna de A:
c_{31}=(-4)\cdot(-4)+2\cdot 3+3\cdot(-3)=16+6-9=13.
  • Entrada c_{32}: com a segunda coluna de A:
c_{32}=(-4)\cdot 3+2\cdot(-1)+3\cdot(-2)=-12-2-6=-20.
  • Entrada c_{33}: com a terceira coluna de A:
c_{33}=(-4)\cdot 4+2\cdot(-4)+3\cdot 3=-16-8+9=-15.
Portanto a terceira linha de C é (13,-20,-15).

Passo 8

Juntando todas as linhas, a matriz produto é
P_{\alpha\rightarrow\beta}=BA= \begin{pmatrix} 3 & 13 & -5 \\\\ 9 & -17 & -11 \\\\ 13 & -20 & -15 \end{pmatrix}.
Isso é o que o enunciado pedia: a matriz que transforma coordenadas de \alpha para \beta. Mandou ver — tá pronta!

Resposta

\begin{pmatrix} 3 & 13 & -5 \\\\ 9 & -17 & -11 \\\\ 13 & -20 & -15 \end{pmatrix}

Exercícios relacionados