Atividade - Segunda Unidade; Assunto: Coordenadas e matriz de mudança de base
Determine as coordenadas do vetor \mathbf{v}=(5,1,-1) na base
\alpha=\{(-4,-2,3),(-4,1,3),(-1,3,1)\}
de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor \mathbf{v}=(5,1,-1) na base
\alpha=\{(-4,-2,3),(-4,1,3),(-1,3,1)\}
de \mathbb{R}^{3}.
Informações relevantes dadas:
\mathbf{v}=(5,1,-1),
os vetores da base \alpha são
\mathbf{b}_1=(-4,-2,3),\quad \mathbf{b}_2=(-4,1,3),\quad \mathbf{b}_3=(-1,3,1).
A pergunta é: quais são os escalares \,x,y,z tais que a combinação linear x\mathbf{b}_1+y\mathbf{b}_2+z\mathbf{b}_3 seja igual a \mathbf{v}?

Passo 2

Vamos traduzir a ideia de "coordenadas de \mathbf{v} na base \alpha" em uma equação à resolver.
Procuramos escalares \,x,y,z tais que
x\mathbf{b}_1+y\mathbf{b}_2+z\mathbf{b}_3=\mathbf{v}.
Aqui:
  • x,y,z são as coordenadas de \mathbf{v} na base \alpha;
  • \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3 são os vetores da base dados.
Escrevendo coordenada a coordenada (somando as componentes correspondentes), obtemos o sistema linear para (x,y,z).

Passo 3

Escrevendo a igualdade das componentes temos o sistema
\begin{cases} -4x-4y-1z=5,\\[4pt] -2x+1y+3z=1,\\[4pt] 3x+3y+1z=-1. \end{cases}
Em forma de matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|c} -4 & -4 & -1 & 5\\[4pt] -2 & 1 & 3 & 1\\[4pt] 3 & 3 & 1 & -1 \end{array}\right].]

Passo 4

Vamos resolver o sistema por eliminação de Gauss (explico rápido: eliminamos uma incógnita por vez usando combinações lineares de linhas; operações elementares de linha não mudam o conjunto solução). Aplicamos operações que mantêm soluções:
Começamos com
\left[\begin{array}{ccc|c} -4 & -4 & -1 & 5\\[4pt] -2 & 1 & 3 & 1\\[4pt] 3 & 3 & 1 & -1 \end{array}\right].
Queremos zerar a primeira coluna nas linhas 2 e 3. Faço as operações inteiras (para evitar frações no início):
  • Substituo a linha 2 por 2\cdot\text{(linha 2)}-\text{(linha 1)}:
2\cdot(-2,1,3\mid 1)=(-4,2,6\mid 2),\quad (-4,2,6)-( -4,-4,-1\mid 5)=(0,6,7\mid -3).
  • Substituo a linha 3 por 4\cdot\text{(linha 3)}+3\cdot\text{(linha 1)}:
4\cdot(3,3,1\mid -1)=(12,12,4\mid -4),\quad 3\cdot(-4,-4,-1\mid 5)=(-12,-12,-3\mid 15),
(12,12,4)+(-12,-12,-3)=(0,0,1\mid 11).
Depois dessas operações obtemos a matriz
\left[\begin{array}{ccc|c} -4 & -4 & -1 & 5\\[4pt] 0 & 6 & 7 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 11 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora a matriz está triangular superior; podemos ler diretamente a última equação para z, e então fazer substituição regressiva.
Da terceira linha:
1\cdot z = 11 \quad\Rightarrow\quad z=11.
Substituindo z=11 na segunda linha:
6y+7z=-3 \quad\Rightarrow\quad 6y+7\cdot 11=-3.
Calculamos:
6y+77=-3 \quad\Rightarrow\quad 6y=-80 \quad\Rightarrow\quad y=-\frac{80}{6}=-\frac{40}{3}.
Agora substituímos y e z na primeira linha para obter x:
-4x-4y-z=5.
Substituindo y=-\dfrac{40}{3} e z=11:
-4x-4\!\left(-\frac{40}{3}\right)-11=5.
Simplificando:
-4x+\frac{160}{3}-11=5.
Colocando em denominador comum:
-4x+\frac{160}{3}-\frac{33}{3}=5 \quad\Rightarrow\quad -4x+\frac{127}{3}=5.
Passando \frac{127}{3} para o outro lado (e escrevendo 5=\frac{15}{3}):
-4x=\frac{15}{3}-\frac{127}{3}=-\frac{112}{3}.
Logo
x=\frac{-\frac{112}{3}}{-4}=\frac{112}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{112}{12}=\frac{28}{3}.

Passo 6

Verificação rápida (somar as combinações pesa pequenas contas): calcular x\mathbf{b}_1+y\mathbf{b}_2+z\mathbf{b}_3 com \,x=\dfrac{28}{3},\,y=-\dfrac{40}{3},\,z=11:
Primeira componente:
-4\cdot\frac{28}{3}-4\cdot\left(-\frac{40}{3}\right)-1\cdot 11 =\frac{-112+160}{3}-11=\frac{48}{3}-11=16-11=5.
Segunda componente:
-2\cdot\frac{28}{3}+1\cdot\left(-\frac{40}{3}\right)+3\cdot 11 =\frac{-56-40}{3}+33=\frac{-96}{3}+33=-32+33=1.
Terceira componente:
3\cdot\frac{28}{3}+3\cdot\left(-\frac{40}{3}\right)+1\cdot 11 =28-40+11=-12+11=-1.
Confere com \mathbf{v}=(5,1,-1). Então os valores achados estão corretos.

Resposta

\left(\dfrac{28}{3},-\dfrac{40}{3},11\right)

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