Atividade - Segunda Unidade; Assunto: Coordenadas e matriz de mudança de base
Determine as coordenadas do vetor
na base
de
.
Determine as coordenadas do vetor
Passo 1
O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor
na base
de
.
Informações relevantes dadas:
os vetores da base
são
A pergunta é: quais são os escalares
tais que a combinação linear
seja igual a
?
Passo 2
Vamos traduzir a ideia de "coordenadas de
na base
" em uma equação à resolver.
Procuramos escalares
tais que
Aqui:
-
são as coordenadas de na base ; -
são os vetores da base dados.
Escrevendo coordenada a coordenada (somando as componentes correspondentes), obtemos o sistema linear para
.
Passo 3
Escrevendo a igualdade das componentes temos o sistema
Em forma de matriz aumentada:
Passo 4
Vamos resolver o sistema por eliminação de Gauss (explico rápido: eliminamos uma incógnita por vez usando combinações lineares de linhas; operações elementares de linha não mudam o conjunto solução). Aplicamos operações que mantêm soluções:
Começamos com
Queremos zerar a primeira coluna nas linhas 2 e 3. Faço as operações inteiras (para evitar frações no início):
- Substituo a linha 2 por
:
- Substituo a linha 3 por
:
Depois dessas operações obtemos a matriz
Passo 5
Agora a matriz está triangular superior; podemos ler diretamente a última equação para
, e então fazer substituição regressiva.
Da terceira linha:
Substituindo
na segunda linha:
Calculamos:
Agora substituímos
e
na primeira linha para obter
:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Colocando em denominador comum:
Passando
para o outro lado (e escrevendo
):
Logo
Passo 6
Verificação rápida (somar as combinações pesa pequenas contas): calcular
com
:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Confere com
. Então os valores achados estão corretos.