Atividade - Segunda Unidade; Assunto: Coordenadas e matriz de mudança de base
Considerando as bases
\alpha=\{(-4,-2,2),(-3,-1,-4),(-2,-2,-2)\}
e
\beta=\{(1,-3,-2),(3,1,3),(4,2,2)\}
de \mathbb{R}^{3}, obtenha a matriz de mudança da base \alpha para a base \beta e a matriz de mudança de \beta para a base \alpha.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
Obter a matriz de mudança de base de \alpha para \beta.
Obter a matriz de mudança de base de \beta para \alpha.
Informações fornecidas (vetores escritos como tuplas em \mathbb{R}^{3}):
\alpha=\{(-4,-2,2),\;(-3,-1,-4),\;(-2,-2,-2)\}
\beta=\{(1,-3,-2),\;(3,1,3),\;(4,2,2)\}
Esses vetores são bases de \mathbb{R}^3, ou seja, são três vetores linearmente independentes cada conjunto.
Passo 2
Estratégia (teoria rápida e intuitiva):
Seja A a matriz cujas colunas são os vetores da base \alpha escritos nas coordenadas canônicas (base padrão).
Seja B a matriz cujas colunas são os vetores da base \beta escritos nas coordenadas canônicas.
Se [v]_{\alpha} é o vetor de coordenadas de v na base \alpha e [v]_{\beta} o vetor de coordenadas em \beta, então as representações canônicas satisfazemA\,[v]_{\alpha} = v = B\,[v]_{\beta}.Dessa igualdade segue que[v]_{\beta} = B^{-1}A\,[v]_{\alpha}.
Portanto, a matriz de mudança de base de \alpha para \beta éP_{\beta\leftarrow\alpha}=B^{-1}A.
Analogamente, a matriz de mudança de \beta para \alpha éP_{\alpha\leftarrow\beta}=A^{-1}B,que é a inversa de P_{\beta\leftarrow\alpha}.
Vou calcular P_{\beta\leftarrow\alpha} resolvendo para cada coluna: para cada vetor a_j da base \alpha encontro suas coordenadas em \beta resolvendo B c = a_j. As soluções c serão as colunas de P_{\beta\leftarrow\alpha}. Depois faço o mesmo para obter P_{\alpha\leftarrow\beta} (ou seja, resolvo A d = b_j para cada vetor b_j de \beta).
Passo 3
Formo as matrizes A e B (colunas são os vetores das bases, na base canônica):
Da primeira equação obtemos x=-4-3y-4z\].
- Substituindo nas outras duas chegamos ao sistema em \[y,z:\begin{cases} 5y+7z=-7,\\[4pt] 9y+10z=-6. \end{cases}
Sistema reduzido em y,z\]:
\[\begin{cases} 5y+7z=-5,\\[4pt] 9y+10z=-10, \end{cases}\]
- Solução: \[z=\dfrac{5}{13}, y=-\dfrac{20}{13}.
- Então x=\dfrac{1}{13}.
(Nota: esta matriz é a inversa de P_{\beta\leftarrow\alpha}. Fiz uma verificação rápida multiplicando P_{\beta\leftarrow\alpha} pela primeira coluna acima e obtive o vetor canônico (1,0,0), o que confirma consistência.)]