Atividade - Segunda Unidade; Assunto: Coordenadas e matriz de mudança de base
Considerando as bases
\alpha=\{(-4,-2,2),(-3,-1,-4),(-2,-2,-2)\}
e
\beta=\{(1,-3,-2),(3,1,3),(4,2,2)\}
de \mathbb{R}^{3}, obtenha a matriz de mudança da base \alpha para a base \beta e a matriz de mudança de \beta para a base \alpha.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Obter a matriz de mudança de base de \alpha para \beta.
  2. Obter a matriz de mudança de base de \beta para \alpha.
Informações fornecidas (vetores escritos como tuplas em \mathbb{R}^{3}):
\alpha=\{(-4,-2,2),\;(-3,-1,-4),\;(-2,-2,-2)\}
\beta=\{(1,-3,-2),\;(3,1,3),\;(4,2,2)\}
Esses vetores são bases de \mathbb{R}^3, ou seja, são três vetores linearmente independentes cada conjunto.

Passo 2

Estratégia (teoria rápida e intuitiva):
  • Seja A a matriz cujas colunas são os vetores da base \alpha escritos nas coordenadas canônicas (base padrão).
  • Seja B a matriz cujas colunas são os vetores da base \beta escritos nas coordenadas canônicas.
  • Se [v]_{\alpha} é o vetor de coordenadas de v na base \alpha e [v]_{\beta} o vetor de coordenadas em \beta, então as representações canônicas satisfazem A\,[v]_{\alpha} = v = B\,[v]_{\beta}.Dessa igualdade segue que [v]_{\beta} = B^{-1}A\,[v]_{\alpha}.
  • Portanto, a matriz de mudança de base de \alpha para \beta é P_{\beta\leftarrow\alpha}=B^{-1}A.
  • Analogamente, a matriz de mudança de \beta para \alpha é P_{\alpha\leftarrow\beta}=A^{-1}B,que é a inversa de P_{\beta\leftarrow\alpha}.
Vou calcular P_{\beta\leftarrow\alpha} resolvendo para cada coluna: para cada vetor a_j da base \alpha encontro suas coordenadas em \beta resolvendo B c = a_j. As soluções c serão as colunas de P_{\beta\leftarrow\alpha}. Depois faço o mesmo para obter P_{\alpha\leftarrow\beta} (ou seja, resolvo A d = b_j para cada vetor b_j de \beta).

Passo 3

Formo as matrizes A e B (colunas são os vetores das bases, na base canônica):
A=\begin{pmatrix} -4 & -3 & -2\\[4pt] -2 & -1 & -2\\[4pt] \;2 & -4 & -2 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\\[4pt] -3 & 1 & 2\\[4pt] -2 & 3 & 2 \end{pmatrix}.
Observação: verifiquei (rapidamente) que \det(B)=-26\neq0, então B é invertível e podemos resolver B c = a_j.]

Passo 4

Cálculo da matriz [P_{\beta\leftarrow\alpha}=B^{-1}A) resolvendo B c = a_j coluna a coluna.
  1. Para a_{1}=(-4,-2,2) procuramos (x,y,z) tal que
\begin{cases} x+3y+4z=-4,\\[4pt] -3x+y+2z=-2,\\[4pt] -2x+3y+2z=2. \end{cases}
Resolvendo por eliminação:
  • Da primeira equação obtemos x=-4-3y-4z\]. - Substituindo nas outras duas chegamos ao sistema em \[y,z: \begin{cases} 5y+7z=-7,\\[4pt] 9y+10z=-6. \end{cases}
  • Resolvendo: z=-\dfrac{33}{13}\], \[y=\dfrac{28}{13}.
  • Então x=-\dfrac{4}{13}.
Logo a coluna correspondente é
\begin{pmatrix}-\dfrac{4}{13}\\[4pt]\dfrac{28}{13}\\[4pt]-\dfrac{33}{13}\end{pmatrix}.
  1. Para a_{2}=(-3,-1,-4) resolvendo
\begin{cases} x+3y+4z=-3,\\[4pt] -3x+y+2z=-1,\\[4pt] -2x+3y+2z=-4, \end{cases}
segue por eliminação:
  • Sistema reduzido em y,z\]: \[\begin{cases} 5y+7z=-5,\\[4pt] 9y+10z=-10, \end{cases}\] - Solução: \[z=\dfrac{5}{13}, y=-\dfrac{20}{13}.
    - Então x=\dfrac{1}{13}.
Coluna correspondente:
\begin{pmatrix}\dfrac{1}{13}\\[4pt]-\dfrac{20}{13}\\[4pt]\dfrac{5}{13}\end{pmatrix}.
  1. Para a_{3}=(-2,-2,-2) resolvendo
\begin{cases} x+3y+4z=-2,\\[4pt] -3x+y+2z=-2,\\[4pt] -2x+3y+2z=-2, \end{cases}
por eliminação:
  • Sistema em y,z\]: \[\begin{cases} 5y+7z=-4,\\[4pt] 9y+10z=-6, \end{cases}\] - Solução: \(z=-\dfrac{6}{13}, y=-\dfrac{2}{13}.
    - Então x=\dfrac{4}{13}.
Coluna correspondente:
\begin{pmatrix}\dfrac{4}{13}\\[4pt]-\dfrac{2}{13}\\[4pt]-\dfrac{6}{13}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Montando P_{\beta\leftarrow\alpha} com as colunas encontradas:
P_{\beta\leftarrow\alpha}= \begin{pmatrix} -\dfrac{4}{13} & \dfrac{1}{13} & \dfrac{4}{13}\\[6pt] \dfrac{28}{13} & -\dfrac{20}{13} & -\dfrac{2}{13}\\[6pt] -\dfrac{33}{13} & \dfrac{5}{13} & -\dfrac{6}{13} \end{pmatrix}.
(Observação: cada coluna são as coordenadas do vetor \alpha_j na base \beta.)]

Passo 6

Agora calculo [P_{\alpha\leftarrow\beta}=A^{-1}B). Vou obter as colunas resolvendo A w = b_j para cada vetor b_j de \beta.
Matriz A foi
A=\begin{pmatrix} -4 & -3 & -2\\[4pt] -2 & -1 & -2\\[4pt] \;2 & -4 & -2 \end{pmatrix}.
  1. Para b_{1}=(1,-3,-2), resolvo A(\lambda,\mu,\nu)^{T}=b_{1}, i.e.
\begin{cases} -4\lambda -3\mu -2\nu = 1,\\[4pt] -2\lambda -\mu -2\nu = -3,\\[4pt] 2\lambda -4\mu -2\nu = -2. \end{cases}
Eliminando chegamos a
\lambda=-\dfrac{5}{7},\qquad \mu=-\dfrac{9}{7},\qquad \nu=\dfrac{20}{7}.
Primeira coluna de (P_{\alpha\leftarrow\beta}]:
\begin{pmatrix}-\dfrac{5}{7}\\[4pt]-\dfrac{9}{7}\\[4pt]\dfrac{20}{7}\end{pmatrix}.
  1. Para b_{2}=(3,1,3), resolvendo A(\lambda,\mu,\nu)^{T}=b_{2} obtemos
\lambda=-\dfrac{1}{7},\qquad \mu=-\dfrac{6}{7},\qquad \nu=\dfrac{1}{14}.
Segunda coluna:
\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{7}\\[4pt]-\dfrac{6}{7}\\[4pt]\dfrac{1}{14}\end{pmatrix}.
  1. Para b_{3}=(4,2,2), resolvendo A(\lambda,\mu,\nu)^{T}=b_{3} obtemos
\lambda=-\dfrac{3}{7},\qquad \mu=-\dfrac{4}{7},\qquad \nu=-\dfrac{2}{7}.
Terceira coluna:
\begin{pmatrix}-\dfrac{3}{7}\\[4pt]-\dfrac{4}{7}\\[4pt]-\dfrac{2}{7}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Assim a matriz de mudança de \beta para \alpha é
P_{\alpha\leftarrow\beta}= \begin{pmatrix} -\dfrac{5}{7} & -\dfrac{1}{7} & -\dfrac{3}{7}\\[6pt] -\dfrac{9}{7} & -\dfrac{6}{7} & -\dfrac{4}{7}\\[6pt] \dfrac{20}{7} & \dfrac{1}{14} & -\dfrac{2}{7} \end{pmatrix}.
(Nota: esta matriz é a inversa de P_{\beta\leftarrow\alpha}. Fiz uma verificação rápida multiplicando P_{\beta\leftarrow\alpha} pela primeira coluna acima e obtive o vetor canônico (1,0,0), o que confirma consistência.)]

Resposta

P_{\beta\leftarrow\alpha}= \begin{pmatrix} -\dfrac{4}{13} & \dfrac{1}{13} & \dfrac{4}{13}\\[6pt] \dfrac{28}{13} & -\dfrac{20}{13} & -\dfrac{2}{13}\\[6pt] -\dfrac{33}{13} & \dfrac{5}{13} & -\dfrac{6}{13} \end{pmatrix}
P_{\alpha\leftarrow\beta}= \begin{pmatrix} -\dfrac{5}{7} & -\dfrac{1}{7} & -\dfrac{3}{7}\\[6pt] -\dfrac{9}{7} & -\dfrac{6}{7} & -\dfrac{4}{7}\\[6pt] \dfrac{20}{7} & \dfrac{1}{14} & -\dfrac{2}{7} \end{pmatrix}]

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