Atividade. 1.2. Verifique que a função g(x)=c1 cos (4 x)+ c2 sen(4 x), c1, c2 in R é uma família de soluções da E.D.O.
y^prime prime+16 y=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer constantes reais c1,c2, a função
g(x)=c1cos(4x)+c2sin(4x)
satisfaz a equação diferencial
y''+16y=0
Para isso, vamos calcular g'(x) e g''(x) e verificar que g''(x)+16,g(x)=0.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, derivamos g(x):
g'(x) =ddxl[c1cos(4x)r]+ddxl[c2sin(4x)r] =-4c1sin(4x)+4c2cos(4x)

Passo 3

Derivando novamente, obtemos
g''(x) =ddxl[-4c1sin(4x)+4c2cos(4x)r] =-4c1cdot4cos(4x)-4c2cdot4sin(4x) =-16c1cos(4x)-16c2sin(4x)

Passo 4

Agora substituímos g(x) e g''(x) na equação y''+16y=0:
g''(x)+16,g(x) =l(-16c1cos(4x)-16c2sin(4x)r) +16l(c1cos(4x)+c2sin(4x)r) =0
Como o resultado é identicamente zero, concluímos que g(x) satisfaz a E.D.O.

Resposta

A função g(x)=c1cos(4x)+c2sin(4x) verifica g''(x)+16,g(x)=0 para quaisquer c1,c2inR, logo é de fato a família geral de soluções da E.D.O. dada.

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