Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente, justificando convenientemente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot 5}{n^{3}+2}
Passo 1
O enunciado nos dá a série alternante
e pede para decidir se ela é absolutamente convergente, apenas condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é teste de convergência absoluta (séries de termos positivos) e, se necessário, teste da série alternante. Vamos usar comparação com a série-p e o teste da comparação-limite.
Passo 2
Estudamos primeiro a convergência absoluta, isto é, a série dos valores absolutos:
Para grandes n, temos n^3+2sim n^3. Aplicamos o teste da comparação-limite com a série-p sum 5/n^3, sabendo que ela converge (pois p=3>1). Calculemos
limntoinfty 5n^3+25n^3 = limntoinfty n^3n^3+2 =1
Como esse limite é finito e não nulo, as duas séries têm o mesmo comportamento. Logo
sumn=1^infty5n^3+2
converge.
Passo 3
Como a série dos valores absolutos converge, a série original é absolutamente convergente. Lembrando que absoluta convergência implica convergência propriamente dita.