Questão 3 (2.5 pts) Calcule integral triplaW 1raizx^2+y^2+z^2 d V, sendo W a região interior ao cone z=raizx^2+y^2, limitada superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=4 e inferiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

O enunciado quer calcular o integral triplo
integral triplaW1raizx^2+y^2+z^2,dV
onde W é a região entre as esferas ,x^2+y^2+z^2=1 e ,x^2+y^2+z^2=4, restringida ao interior do cone z=raizx^2+y^2. Para resolver, vamos usar coordenadas esféricas, pois a região e o integrando têm simetria radial.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = rsinvarphicostheta, y = rsinvarphisintheta, z = rcosvarphi,
com elemento de volume
dV = r^2sinvarphi,dr,dvarphi,dtheta
Além disso, raizx^2+y^2+z^2=r, então o integrando fica 1/r.

Passo 3

A condição entre as esferas é
1 <= r <= 2
A condição interior ao cone z=raizx^2+y^2 corresponde a
rcosvarphi >= rsinvarphi Long<=ftrightarrow varphi <= pi4
E theta varia de 0 a 2pi.

Passo 4

O integral torna-se
integraltheta=0^2pi integralvarphi=0^pi/4 integralr=1^2 1r,r^2sinvarphi,dr,dvarphi,dtheta = integral0^2pidtheta integral0^pi/4sinvarphi,dvarphi integral1^2r,dr

Passo 5

Calculando cada parte:
  1. Integral em r:
integral1^2r,dr = r^22|1^2 = 42-12 = 32
  1. Integral em varphi:
integral0^pi/4sinvarphi,dvarphi = l[-cosvarphir]0^pi/4 = -raiz22+1 = 1 - raiz22
  1. Integral em theta:
integral0^2pidtheta = 2pi
Multiplicando tudo:
2pi times l(1-raiz22r)times 32 = 3pil(1-raiz22r)

Resposta

integral triplaW1raizx^2+y^2+z^2,dV =3pil(1-tfracraiz22r)

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