Questão 3 (2.5 pts) Calcule
, sendo
a região interior ao cone
, limitada superiormente pela esfera
e inferiormente pela esfera
.
Passo 1
O enunciado quer calcular o integral triplo
onde
é a região entre as esferas
e
, restringida ao interior do cone
. Para resolver, vamos usar coordenadas esféricas, pois a região e o integrando têm simetria radial.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
com elemento de volume
Além disso,
, então o integrando fica
.
Passo 3
A condição entre as esferas é
A condição interior ao cone
corresponde a
E
varia de
a
.
Passo 4
O integral torna-se
Passo 5
Calculando cada parte:
- Integral em
:
- Integral em
:varphi
- Integral em
:theta
Multiplicando tudo: