Um atleta balança uma bola, conectada à ponta de uma corrente, em um círculo horizontal. O atleta consegue girar a bola a uma taxa de 8 revoluções por segundo quando o comprimento da corrente é
. (a) Qual a velocidade linear da bola? (b) Qual a velocidade angular da bola? (c) Qual sua aceleração centrípeta?
Passo 1
O enunciado dá uma bola presa a uma corrente girando em círculo horizontal e pede três coisas: (a) a velocidade linear da bola, (b) a velocidade angular da bola e (c) a aceleração centrípeta. As informações fornecidas são:
(o comprimento da corrente é o raio do movimento). Não há outras informações ocultas.)
Passo 2
Entendendo as grandezas e as fórmulas principais (aulas rápidas):\n
- A frequência
é o número de voltas por segundo. Cada volta corresponde a um ângulo de radianos. Portanto a velocidade angular (em rad/s) relaciona-se com a frequência por
Aqui
é a rapidez angular (rad/s),
é a frequência (rev/s) e
é quantos radianos tem uma volta completa.\n
- A velocidade linear tangencial
(m/s) da bola está relacionada com e o raio por
Isso vem da relação entre deslocamento angular e deslocamento linear ao longo da circunferência: um ângulo
(rad) corresponde a arco de comprimento
. Dividindo por tempo obtém-se
.\n
- A aceleração centrípeta
(que aponta para o centro) pode ser calculada por duas fórmulas equivalentes:
Usar uma ou outra depende de qual grandeza você já tem.
Passo 3
Calcular a velocidade angular
a partir da frequência dada usando
. Substituindo
:
Se quisermos uma aproximação numérica, usamos
:
Arredondando razoavelmente:
Passo 4
Calcular a velocidade linear
usando
. Já temos
e
, então
Aproximando numericamente com
:
ou seja,
Observação prática: também poderíamos usar diretamente
. Fazendo isso:
chegamos ao mesmo resultado — bom para checar contas na prova.
Passo 5
Agora a aceleração centrípeta. Usando
(é curto e direto porque já temos
):
Essa é uma forma exata (em termos de
). Para obter valor numérico, usamos
:
Arredondando:
(A verificação alternativa usando
: com
, temos
, então
, mesma expressão — bom sinal de consistência.)
Passo 6
Resumo pedagógico rápido para fixar a técnica (como aplicar na prova):\n
- Se te dão frequência
e raio : calcule primeiro . Depois use e .\n - Se te derem
e : use e .\n
Sempre faça uma verificação cruzada (usar formas alternativas) para garantir que não errou algebricamente.