Um atleta balança uma bola, conectada à ponta de uma corrente, em um círculo horizontal. O atleta consegue girar a bola a uma taxa de 8 revoluções por segundo quando o comprimento da corrente é 0,600 \mathrm{~m}. (a) Qual a velocidade linear da bola? (b) Qual a velocidade angular da bola? (c) Qual sua aceleração centrípeta?

Passo 1

O enunciado dá uma bola presa a uma corrente girando em círculo horizontal e pede três coisas: (a) a velocidade linear da bola, (b) a velocidade angular da bola e (c) a aceleração centrípeta. As informações fornecidas são: \,f=8\\ \text{revoluções por segundo}\,) e \(\,r=0,600\\ \text{m} (o comprimento da corrente é o raio do movimento). Não há outras informações ocultas.)

Passo 2

Entendendo as grandezas e as fórmulas principais (aulas rápidas):\n
  • A frequência \,f é o número de voltas por segundo. Cada volta corresponde a um ângulo de 2\pi radianos. Portanto a velocidade angular \,\omega (em rad/s) relaciona-se com a frequência por
\omega = 2\pi f.
Aqui \,\omega é a rapidez angular (rad/s), \,f é a frequência (rev/s) e 2\pi é quantos radianos tem uma volta completa.\n
  • A velocidade linear tangencial \,v (m/s) da bola está relacionada com \,\omega e o raio \,r por
v=\omega r.
Isso vem da relação entre deslocamento angular e deslocamento linear ao longo da circunferência: um ângulo \theta (rad) corresponde a arco de comprimento s=\theta r. Dividindo por tempo obtém-se v=\omega r.\n
  • A aceleração centrípeta \,a_c (que aponta para o centro) pode ser calculada por duas fórmulas equivalentes:
a_c=\frac{v^2}{r}\quad\text{ou}\quad a_c=\omega^2 r.
Usar uma ou outra depende de qual grandeza você já tem.

Passo 3

Calcular a velocidade angular \,\omega a partir da frequência dada usando \omega=2\pi f. Substituindo \,f=8\\ \text{rev/s}:
\omega = 2\pi\cdot 8 = 16\pi\\ \text{rad/s}.
Se quisermos uma aproximação numérica, usamos \pi\approx 3,1416:
\omega \approx 16\cdot 3,1416 = 50,2656\\ \text{rad/s}.
Arredondando razoavelmente: \omega \approx 50,27\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Calcular a velocidade linear v usando v=\omega r. Já temos \omega=16\pi e r=0,600\\ \text{m}, então
v = (16\pi)(0,600) = 9,6\pi\\ \text{m/s}.
Aproximando numericamente com \pi\approx 3,1416:
v \approx 9,6\cdot 3,1416 = 30,15936\\ \text{m/s},
ou seja, \,v\approx 30,16\\ \text{m/s}.
Observação prática: também poderíamos usar diretamente v=2\pi r f. Fazendo isso:
v = 2\pi \cdot 0,600 \cdot 8 = 9,6\pi\\ \text{m/s},
chegamos ao mesmo resultado — bom para checar contas na prova.

Passo 5

Agora a aceleração centrípeta. Usando \,a_c=\omega^2 r (é curto e direto porque já temos \omega):
a_c = (16\pi)^2 \cdot 0,600 = 256\pi^2\cdot 0,600 = 153,6\pi^2\\ \text{m/s}^2.
Essa é uma forma exata (em termos de \pi). Para obter valor numérico, usamos \pi^2\approx 9,8696:
a_c \approx 153,6\cdot 9,8696 = 1515,97\\ \text{m/s}^2.
Arredondando: a_c \approx 1516\\ \text{m/s}^2.
(A verificação alternativa usando a_c=v^2/r: com v=9,6\pi, temos v^2=(9,6\pi)^2=92,16\pi^2, então a_c=(92,16\pi^2)/0,6=153,6\pi^2, mesma expressão — bom sinal de consistência.)

Passo 6

Resumo pedagógico rápido para fixar a técnica (como aplicar na prova):\n
  • Se te dão frequência \,f e raio \,r: calcule primeiro \omega=2\pi f. Depois use v=\omega r e a_c=\omega^2 r.\n
  • Se te derem v e r: use a_c=v^2/r e \omega=v/r.\n
    Sempre faça uma verificação cruzada (usar formas alternativas) para garantir que não errou algebricamente.

Resposta

\,v = 9,6\pi\\ \text{m/s} \approx 30,16\\ \text{m/s}\n
\,\omega = 16\pi\\ \text{rad/s} \approx 50,27\\ \text{rad/s}\n
\,a_c = 153,6\pi^2\\ \text{m/s}^2 \approx 1516\\ \text{m/s}^2

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