Módulo 23-3 Um Condutor Carregado -17 Uma esfera condutora uniforme de 1,2 m de diâmetro possui uma densidade superficial de carga de 8,1 \mu C/m^2. Determine o potencial da esfera.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o potencial de uma esfera condutora. Informações dadas:
  • Diâmetro da esfera: \,1,2\\ \mathrm{m}.
  • Densidade superficial de carga: \,\sigma = 8,1\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^2.
  • Não há outras cargas externas mencionadas, então assumimos potencial medido em relação ao infinito.
    Observação: ainda não começamos a calcular — aqui só listei o que o problema dá e o que ele quer.

Passo 2

Entendimento físico e fórmula útil (explicação didática): para uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático, toda a carga está na superfície e o campo elétrico fora da esfera é idêntico ao de uma carga pontual Q situada no centro. Por isso o potencial na superfície (medido em relação ao infinito) é dado por
V = k\,\frac{Q}{R},
onde:
  • V é o potencial da esfera (em volts, \mathrm{V}),
  • k é a constante eletrostática \displaystyle k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} (valendo aproximadamente 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}),
  • Q é a carga total da esfera (em coulombs, \mathrm{C}),
  • R é o raio da esfera (em metros, \mathrm{m}).
    Explicação curta: essa fórmula vem da expressão do potencial de uma carga pontual V=kQ/r; como o campo fora da esfera é idêntico ao de uma carga pontual, o potencial na superfície (quando r=R) é kQ/R.

Passo 3

Conseguir Q a partir da densidade superficial \sigma. A carga total na superfície é a densidade vezes a área da esfera:
Q = \sigma \cdot A = \sigma \cdot 4\pi R^2.
Primeiro encontro o raio: o diâmetro é 1,2\\ \mathrm{m}, então
R = \frac{1,2}{2} = 0,6\\ \mathrm{m}.
Também transformo a densidade superficial para SI (coulomb por metro quadrado):
\sigma = 8,1\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^2 = 8,1\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2.

Passo 4

Calcular a área e a carga total com contas passo a passo:
Área da esfera:
A = 4\pi R^2 = 4\pi(0,6)^2 = 4\pi(0,36) = 1,44\pi\\ \mathrm{m}^2.
Agora Q:
Q = \sigma A = (8,1\times10^{-6})\cdot(1,44\pi).
Faço a multiplicação numérica em etapas:
8,1\times1,44 = 11,664,
portanto
Q = 11,664\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Aproximando \pi\approx3,1416,
Q \approx 11,664\times3,1416\times10^{-6}\\ \mathrm{C} \approx 36,63\times10^{-6}\\ \mathrm{C} = 3,663\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.

Passo 5

Agora aplico a fórmula do potencial. Vou usar k\approx 8,99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}. A fórmula:
V = k\,\frac{Q}{R}.
Substituindo os valores numéricos que já temos:
Q \approx 3,663\times10^{-5}\\ \mathrm{C},\qquad R=0,6\\ \mathrm{m},\qquad k\approx 8,99\times10^{9}.

Passo 6

Calculo passo a passo o valor de V:
kQ \approx (8,99\times10^{9})\cdot(3,663\times10^{-5}) \approx 8,99\cdot3,663\times10^{4}.
Faço a multiplicação 8,99\cdot3,663\approx32,93, então
kQ \approx 32,93\times10^{4} = 3,293\times10^{5}.
Dividindo por R=0,6:
V = \frac{kQ}{R} \approx \frac{3,293\times10^{5}}{0,6} \approx 5,489\times10^{5}\\ \mathrm{V}.
Arredondando adequadamente (três algarismos significativos),
V \approx 5,49\times10^{5}\\ \mathrm{V}.
Observação: o potencial é positivo porque a densidade superficial \sigma é positiva; o valor está medido em relação ao potencial no infinito (que tomamos como zero).

Resposta

5,49\times10^{5}\\ \mathrm{V}

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