Módulo 23-3 Um Condutor Carregado -17 Uma esfera condutora uniforme de 1,2 m de diâmetro possui uma densidade superficial de carga de
. Determine o potencial da esfera.
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o potencial de uma esfera condutora. Informações dadas:
- Diâmetro da esfera:
. - Densidade superficial de carga:
. - Não há outras cargas externas mencionadas, então assumimos potencial medido em relação ao infinito.
Observação: ainda não começamos a calcular — aqui só listei o que o problema dá e o que ele quer.
Passo 2
Entendimento físico e fórmula útil (explicação didática): para uma esfera condutora em equilíbrio eletrostático, toda a carga está na superfície e o campo elétrico fora da esfera é idêntico ao de uma carga pontual
situada no centro. Por isso o potencial na superfície (medido em relação ao infinito) é dado por
onde:
-
é o potencial da esfera (em volts, ), -
é a constante eletrostática (valendo aproximadamente ), -
é a carga total da esfera (em coulombs, ), -
é o raio da esfera (em metros, ).
Explicação curta: essa fórmula vem da expressão do potencial de uma carga pontual; como o campo fora da esfera é idêntico ao de uma carga pontual, o potencial na superfície (quando ) é .
Passo 3
Conseguir
a partir da densidade superficial
. A carga total na superfície é a densidade vezes a área da esfera:
Primeiro encontro o raio: o diâmetro é
, então
Também transformo a densidade superficial para SI (coulomb por metro quadrado):
Passo 4
Calcular a área e a carga total com contas passo a passo:
Área da esfera:
Área da esfera:
Agora
:
Faço a multiplicação numérica em etapas:
portanto
Aproximando
,
Passo 5
Agora aplico a fórmula do potencial. Vou usar
. A fórmula:
Substituindo os valores numéricos que já temos:
Passo 6
Calculo passo a passo o valor de
:
Faço a multiplicação
, então
Dividindo por
:
Arredondando adequadamente (três algarismos significativos),
Observação: o potencial é positivo porque a densidade superficial
é positiva; o valor está medido em relação ao potencial no infinito (que tomamos como zero).