Uma bola acelera a partir do repouso a 0,800 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} enquanto se move para baixo em um plano inclinado de 10,0 \mathrm{~m} de comprimento. Quando atinge o fundo, a bola rola para outro plano, ao qual chega em repouso após mover-se por 17,0 \mathrm{~m} naquele plano. Determine a velocidade da bola na parte inferior do primeiro plano e a aceleração ao longo do segundo plano:
a) 4 \mathrm{~m} / \mathrm{se}-0,470 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
b) 2 \mathrm{~m} / \mathrm{se}-0,300 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
c) 3 \mathrm{~m} / \mathrm{se}-0,300 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
d) 6 \mathrm{~m} / \mathrm{se}-0,600 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
e) 10 \mathrm{~m} / \mathrm{se}-0,800 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
  • A bola parte do repouso, ou seja v_{0}=0.
  • Aceleração no primeiro plano: a_{1}=0,800\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Comprimento (deslocamento) do primeiro plano: s_{1}=10,0\\ \mathrm{m}.
  • Ao atingir o fundo do primeiro plano, a bola entra no segundo plano com a velocidade obtida no final do primeiro plano (essa é a velocidade inicial do segundo trecho).
  • No segundo plano a bola pára após percorrer s_{2}=17,0\\ \mathrm{m}; portanto a velocidade final no segundo plano é v=0.
    O que o problema pede:
  1. Determinar a velocidade da bola na parte inferior do primeiro plano.
  2. Determinar a aceleração ao longo do segundo plano (será negativa, pois a bola pára).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (cinemática para aceleração constante). Uma relação muito útil quando a aceleração é constante é
v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta x,
onde:
  • v é a velocidade final,
  • v_{0} é a velocidade inicial,
  • a é a aceleração (constante),
  • \Delta x é o deslocamento na direção do movimento.
    Breve justificativa da fórmula (sem mistério): tomamos a=\dfrac{dv}{dt} e v=\dfrac{dx}{dt}. Fazendo a mudança de variável e integrando obtemos a\,dx=v\,dv, integrando dá \tfrac{1}{2}v^{2}-\tfrac{1}{2}v_{0}^{2}=a\Delta x, que rearranjado fornece a fórmula acima. Cada símbolo já foi explicado.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao primeiro plano para achar a velocidade ao final dele. Aqui v_{0}=0, a=a_{1} e \Delta x=s_{1}. Então
v^{2}=0^{2}+2a_{1}s_{1}.
Substituindo os valores numéricos:
v^{2}=2\cdot 0,800\cdot 10,0.
Calcule:
v^{2}=16,0.
Logo
v=\sqrt{16,0}=4,0\\ \mathrm{m/s}.
Comentário prático: o resultado tem sinal positivo porque escolhemos a direção do movimento para baixo como positiva; faz sentido físico: a bola ganha velocidade descendo.

Passo 4

Agora vamos ao segundo plano. Ali a bola começa com velocidade inicial v_{0}'=4,0\\ \mathrm{m/s} (valor obtido no passo anterior) e para depois de s_{2}=17,0\\ \mathrm{m}, com velocidade final v=0. Queremos a aceleração a_{2}. Usamos novamente
v^{2}=v_{0}'^{2}+2a_{2}s_{2}.
Colocando v=0 e isolando a_{2}:
0=v_{0}'^{2}+2a_{2}s_{2}\quad\Rightarrow\quad a_{2}=-\dfrac{v_{0}'^{2}}{2s_{2}}.
Expliquei a razão do sinal: a_{2} será negativo porque a velocidade diminui até zero (é uma desaceleração).

Passo 5

Substituímos os números:
a_{2}=-\dfrac{(4,0)^{2}}{2\cdot 17,0}=-\dfrac{16,0}{34,0}.
Faça a divisão:
a_{2}=-0,470588\ldots\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Arredondando de forma compatível com as casas dadas no enunciado, temos
a_{2}\approx -0,470\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Interpretação: o módulo da aceleração é 0,470\\ \mathrm{m/s^{2}} e o sinal negativo indica que é uma desaceleração (oposta ao sentido do movimento inicial no segundo plano).

Passo 6

Confrontando com as alternativas dadas, os resultados obtidos são:
  • Velocidade na base do primeiro plano: 4,0\\ \mathrm{m/s}.
  • Aceleração no segundo plano: -0,470\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    Isto corresponde à alternativa (a).

Resposta

4,0\\ \mathrm{m/s}
-0,470\\ \mathrm{m/s^{2}}

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