Uma bola acelera a partir do repouso a
enquanto se move para baixo em um plano inclinado de
de comprimento. Quando atinge o fundo, a bola rola para outro plano, ao qual chega em repouso após mover-se por
naquele plano. Determine a velocidade da bola na parte inferior do primeiro plano e a aceleração ao longo do segundo plano:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
- A bola parte do repouso, ou seja
. - Aceleração no primeiro plano:
. - Comprimento (deslocamento) do primeiro plano:
. - Ao atingir o fundo do primeiro plano, a bola entra no segundo plano com a velocidade obtida no final do primeiro plano (essa é a velocidade inicial do segundo trecho).
- No segundo plano a bola pára após percorrer
; portanto a velocidade final no segundo plano é .
O que o problema pede:
- Determinar a velocidade da bola na parte inferior do primeiro plano.
- Determinar a aceleração ao longo do segundo plano (será negativa, pois a bola pára).
Passo 2
Fórmula que vamos usar (cinemática para aceleração constante). Uma relação muito útil quando a aceleração é constante é
onde:
-
é a velocidade final, -
é a velocidade inicial, -
é a aceleração (constante), -
é o deslocamento na direção do movimento.
Breve justificativa da fórmula (sem mistério): tomamose . Fazendo a mudança de variável e integrando obtemos , integrando dá , que rearranjado fornece a fórmula acima. Cada símbolo já foi explicado.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao primeiro plano para achar a velocidade ao final dele. Aqui
,
e
. Então
Substituindo os valores numéricos:
Calcule:
Logo
Comentário prático: o resultado tem sinal positivo porque escolhemos a direção do movimento para baixo como positiva; faz sentido físico: a bola ganha velocidade descendo.
Passo 4
Agora vamos ao segundo plano. Ali a bola começa com velocidade inicial
(valor obtido no passo anterior) e para depois de
, com velocidade final
. Queremos a aceleração
. Usamos novamente
Colocando
e isolando
:
Expliquei a razão do sinal:
será negativo porque a velocidade diminui até zero (é uma desaceleração).
Passo 5
Substituímos os números:
Faça a divisão:
Arredondando de forma compatível com as casas dadas no enunciado, temos
Interpretação: o módulo da aceleração é
e o sinal negativo indica que é uma desaceleração (oposta ao sentido do movimento inicial no segundo plano).
Passo 6
Confrontando com as alternativas dadas, os resultados obtidos são:
- Velocidade na base do primeiro plano:
. - Aceleração no segundo plano:
.
Isto corresponde à alternativa (a).