Um atleta segura uma corda leve que passa sobre uma polia de pouco atrito presa ao teto de uma academia. Um saco de areia com peso exatamente igual ao do atleta é amarrado à outra extremidade da corda. Tanto a areia como o atleta estão inicialmente em repouso. O atleta escala a corda, às vezes acelerando, outras, reduzindo enquanto sobe. O que acontece com o saco de areia? Explique.
Passo 1
Então, o problema diz que um atleta e um saco de areia de mesmo peso estão pendurados nas duas extremidades de uma corda sem atrito que passa por uma polia no teto. Ambos começam em repouso. Aí o atleta “sobe” na corda, ora acelerando, ora freando. A pergunta é: o que o saco de areia faz?
Conteúdo: Dinâmica (Segunda Lei de Newton) e restrição geométrica de um sistema de corda inextensível. Vamos precisar desenhar diagramas de forças, escrever para cada massa e usar o fato de que a corda tem comprimento fixo (movimentações simétricas).
Conteúdo: Dinâmica (Segunda Lei de Newton) e restrição geométrica de um sistema de corda inextensível. Vamos precisar desenhar diagramas de forças, escrever
Passo 2
Desenhando o Diagrama de Corpo Livre (DCL) do atleta (massa
):
- Força peso para baixo:
. - Tensão da corda para cima:
.
Pela Segunda Lei de Newton (eixo positivo para cima):
Aqui
é a aceleração do atleta em relação ao chão.
Passo 3
DCL do saco de areia (mesma massa
):
- Peso para baixo:
. - Tensão para cima (mesma
, pois a polia não tem atrito):
Note que
é a aceleração do saco em relação ao chão.
Passo 4
Agora a restrição geométrica da corda inextensível: se o atleta sobe uma certa aceleração
para cima, a outra extremidade da corda (o saco) também se move com a MESMA aceleração, mas no mesmo sentido vertical. Isso vem do fato de que a soma dos comprimentos dos dois ramos da corda é constante. Matematicamente:
Passo 5
Igualando as duas expressões de Newton para as duas massas, vemos que ambas satisfazem
com o MESMO
. Logo, sempre que o atleta acelera para cima (
), o saco também acelera para cima com o MESMO
. Se o atleta freia (
), o saco também desce com a mesma desaceleração.
Resposta
O saco de areia acompanha exatamente o movimento do atleta: quando ele acelera para cima, o saco acelera para cima com a mesma aceleração; quando ele reduz a subida (aceleração negativa), o saco também desce com a mesma desaceleração. Na prática, o saco fica “colado” à posição do atleta, sem ganhar nem perder distância em relação a ele.