Dois corpos, A e B, se movem em uma trajetória retilínea segundo as equações horárias x A=2-4 t+6 t^2 e x B=6-2 t+3 t^2. Sabendo que as grandezas estão no SI, determine o tempo que as partículas vão demorar para atingir a mesma velocidade. b) $0,33 \mathrm{~s} $

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que dois corpos A e B se movem em linha reta com as posições dadas por
xA(t) = 2 - 4t + 6t^2 e xB(t) = 6 - 2t + 3t^2
em unidades do SI. Precisamos achar o tempo em que as velocidades de A e B sejam iguais.
Matéria envolvida: Cinemática (relação posição–velocidade) e cálculo de derivada para obter a velocidade instantânea.

Passo 2

Teoria rápida: em movimento retilíneo a velocidade instantânea v(t) = dxdt é a derivada da posição vA(t) = ddt(2 - 4t + 6t^2) = 0 - 4 + 12t = -4 + 12t em relação ao tempo:
vB(t) = ddt(6 - 2t + 3t^2) = 0 - 2 + 6t = -2 + 6t
Então, vamos derivar cada uma:
Para A:
Para B:

Passo 3

Agora queremos o instante em que -4 + 12t = -2 + 6t . Então:
12t - 6t = -2 + 4
Vamos isolar 6t = 2 :
  1. Primeiro passo: passe t = 26 = 13,s para o lado esquerdo e para o lado direito:
  1. Simplificando:
  1. Logo:

Passo 4

Faz sentido ter um único instante positivo, pois antes desse tempo B era mais lento, depois é mais rápido. O valor s bate com s dado no enunciado.

Resposta

t = 13,s approx 0,33,s

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