Um mergulhador transporta um cilindro de oxigênio em uma viagem. Inicialmente, o mergulhador estava em uma região com temperatura 300 K , chegando após a viagem em uma região com temperatura 280 K . O mergulhador observa que a pressão no tubo, que era originalmente de 150 atm , passou a marcar 120 atm . Supondo que o gás dentro do tubo possa ser modelado como um gás ideal e que estivesse, tanto na partida quanto na chegada, em equilíbrio térmico com o ambiente na vizinhança, determine se houve vazamento de oxigênio do cilindro e, em caso afirmativo, determine em porcentagem o quanto foi perdido.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (peguei estes números do enunciado) e o que pede:
  • Temperatura inicial: T_i = 300\\ \text{K}.
  • Temperatura final: T_f = 280\\ \text{K}.
  • Pressão inicial no cilindro: P_i = 150\\ \text{atm}.
  • Pressão final no cilindro: P_f = 120\\ \text{atm}.
  • Suposição: o gás se comporta como um gás ideal e, em partida e chegada, estava em equilíbrio térmico com o ambiente.
    O enunciado pede:
  1. Determinar se houve vazamento de oxigênio do cilindro.
  2. Se houve, determinar em porcentagem quanto foi perdido.

Passo 2

Apresentando a lei dos gases ideais e o que cada símbolo significa (aqui não é complicado, é só decorar a fórmula e o que cada letra representa):
PV = nRT
onde:
  • P é a pressão do gás,
  • V é o volume do recipiente (no nosso caso, o volume do cilindro, que é constante),
  • n é o número de mols do gás (proporcional à quantidade de oxigênio),
  • R é a constante universal dos gases,
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
    Como o cilindro tem volume fixo e R é constante, para comparar a quantidade de gás antes e depois podemos escrever para os dois estados:
P_i V = n_i R T_i
P_f V = n_f R T_f
essas duas equações são a base para descobrir se n_f mudou em relação a n_i.

Passo 3

Vamos isolar a razão entre os números de mols n_f e n_i. Dividindo a segunda equação pela primeira (e lembrando que V e R cancelam porque são constantes), obtemos:
\frac{n_f}{n_i}=\frac{P_f/T_f}{P_i/T_i}=\frac{P_f\,T_i}{P_i\,T_f}
Essa expressão é muito útil: compara diretamente a quantidade de gás final com a inicial usando apenas pressões e temperaturas medidas.

Passo 4

Agora substituo os valores que peguei do enunciado (estou usando os números fornecidos):
\frac{n_f}{n_i}=\frac{120\cdot 300}{150\cdot 280}
Faço as contas passo a passo:
120\cdot 300 = 36000
150\cdot 280 = 42000
Logo
\frac{n_f}{n_i}=\frac{36000}{42000}=\frac{36}{42}=\frac{6}{7}\approx 0{,}857142\ldots

Passo 5

Interpretação física do resultado:
  • Se não houvesse vazamento, o número de mols n permaneceria constante e a pressão final esperada seria proporcional à temperatura final: P_f^{\text{(esperada)}} = P_i\cdot\frac{T_f}{T_i}. Como verificação rápida,
P_i\cdot\frac{T_f}{T_i}=150\cdot\frac{280}{300}=150\cdot0{,}9333\ldots=140\\ \text{atm (aprox.)}.
Mas a pressão medida foi 120\\ \text{atm}, bem menor que 140\\ \text{atm}. Isso confirma que não basta a queda de temperatura para explicar a redução da pressão: parte do gás saiu do cilindro.
Como resultado encontramos que n_f = \dfrac{6}{7} n_i, isto é, restou cerca de 85{,}714\% do gás original, então houve vazamento.

Passo 6

Calcular a fração perdida e converter para porcentagem:
\text{fração perdida} = 1-\frac{n_f}{n_i}=1-\frac{6}{7}=\frac{1}{7}çã
\text{percentual perdido}=\frac{1}{7}\times100\% \approx 14{,}2857\%\approx 14{,}3\%

Resposta

Sim.
Perda de oxigênio: 14{,}2857\%\approx14{,}3\%

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