Ar atmosférico a 25^circ C escoa a 5 m / s sobre uma esfera de cobre de 1,5 cm de diâmetro. A esfera está inicialmente a 50^circ C. Quanto tempo será necessário para resfriar a esfera até 30^circ C ? Qual a quantidade global de calor transferida da esfera para o ar?
Dados:
Para o ar a lll Para o ar a $25^circ C$ & Para o ar a $40^circ C$ & Para o cobre a 40 (lllmu=18.41 times 10^-6 kg / m cdot s nu=15.54 times 10^-6 m^2 / s & mu=19.11 times 10^-6 kg / m cdot s & k=25.96 times 10^-3 W / m cdot K & & lrho=8924 kg / m^3 widehatCP=387 J / kg cdot K Pr=0.712 Para o ar a Para o cobre a 40

Passo 1

Beleza, mano! O enunciado diz que temos uma esfera de cobre com diâmetro inicialmente a , e o ar a escoa a . Queremos:
  1. o tempo pra esfriar a esfera até ,
  2. a quantidade total de calor que saiu da esfera.
    Conteúdo envolvido: convecção externa em esfera, método de resistência térmica única (lumped capacitance), correlação de Nusselt pra esfera e lei de resfriamento de Newton. Vamos precisar dos dados de ar (viscosidade, condutividade, Prandtl) e do cobre ( , ).

Passo 2

Primeiro a gente calcula o número de Reynolds pra ver o regime de escoamento e usar a correlação de convecção:
Re = V,Dnu
onde Re = 5cdot0,01515,54times10^-6approx 4,83times10^3 , , .

Passo 3

Agora a correlação de Churchill–Bernstein pra esfera (leva em conta Nu ;=; 2 ;+;l(0.4,Re^1/2+0.06,Re^2/3r),Pr^0.4,l(muinftymusr)^1/4 , Nuapprox 2 + (0.4cdot69,5 + 0.06cdot284)cdot0.712^0.4cdot0.964^0.25 approx 40,8 e razão de viscosidades):
h = Nu;kinftyD = 40,8cdot0,025960,015approx 70,6;W/(m^2K)
Substituindo , , e :
Aí o coeficiente de convecção é

Passo 4

Antes de meter a mão na massa do resfriamento, verificamos o número de Biot pra ver se podemos usar o modelo de corpo de temperatura uniforme (lumped):
Bi = h,Lckrm cobre com Lc = VA=R3=D6=0,0025 m
Como Biapprox70,6cdot0,0025400approx4,4times10^-4ll0,1 ,
Tá valendo lumped mesmo.

Passo 5

Aplicamos a lei de resfriamento de Newton com capacitância térmica única:
T(t)-Tinfty = l(Ti-Tinftyr)exp!l(-hArho V cp,tr)
– Área da esfera: t = -m,cphAln525 approx -6,170,6cdot7,07times10^-4ln(0,2) approx 197 s
– Volume:
– Massa:

Queremos , então , e .

Passo 6

Finalmente, a energia total removida da esfera é
Q = m,cp,(Ti - T) = 6,1cdot(50-30)approx122; J

Resposta

Tempo de resfriamento: aproximadamente (cerca de min)
Calor total transferido: aproximadamente

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