Ar atmosférico a escoa a sobre uma esfera de cobre de de diâmetro. A esfera está inicialmente a . Quanto tempo será necessário para resfriar a esfera até ? Qual a quantidade global de calor transferida da esfera para o ar?
Dados:
Para o ar a
Para o ar a
Para o cobre a 40
Passo 1
Beleza, mano! O enunciado diz que temos uma esfera de cobre com diâmetro inicialmente a , e o ar a escoa a . Queremos:
o tempo pra esfriar a esfera até ,
a quantidade total de calor que saiu da esfera.
Conteúdo envolvido: convecção externa em esfera, método de resistência térmica única (lumped capacitance), correlação de Nusselt pra esfera e lei de resfriamento de Newton. Vamos precisar dos dados de ar (viscosidade, condutividade, Prandtl) e do cobre (, ).
Passo 2
Primeiro a gente calcula o número de Reynolds pra ver o regime de escoamento e usar a correlação de convecção:
Re = V,Dnu
onde Re = 5cdot0,01515,54times10^-6approx 4,83times10^3 , , .
Passo 3
Agora a correlação de Churchill–Bernstein pra esfera (leva em conta Nu ;=; 2 ;+;l(0.4,Re^1/2+0.06,Re^2/3r),Pr^0.4,l(muinftymusr)^1/4 , Nuapprox 2 + (0.4cdot69,5 + 0.06cdot284)cdot0.712^0.4cdot0.964^0.25 approx 40,8 e razão de viscosidades):
h = Nu;kinftyD = 40,8cdot0,025960,015approx 70,6;W/(m^2K)
Substituindo , , e :
Aí o coeficiente de convecção é
Passo 4
Antes de meter a mão na massa do resfriamento, verificamos o número de Biot pra ver se podemos usar o modelo de corpo de temperatura uniforme (lumped):
Bi = h,Lckrm cobre com Lc = VA=R3=D6=0,0025 m
Como Biapprox70,6cdot0,0025400approx4,4times10^-4ll0,1 ,
Tá valendo lumped mesmo.
Passo 5
Aplicamos a lei de resfriamento de Newton com capacitância térmica única:
T(t)-Tinfty = l(Ti-Tinftyr)exp!l(-hArho V cp,tr)
– Área da esfera: t = -m,cphAln525 approx -6,170,6cdot7,07times10^-4ln(0,2) approx 197 s
– Volume:
– Massa:
–
Queremos , então , e .
Passo 6
Finalmente, a energia total removida da esfera é
Q = m,cp,(Ti - T) = 6,1cdot(50-30)approx122; J
Resposta
Tempo de resfriamento: aproximadamente (cerca de min)
Calor total transferido: aproximadamente