Um fluido escoando a
por uma tubulação de diâmetro
é resfriado externamente por meio de uma corrente de ar ambiente, sob circunstâncias nas quais ,o fluxo de calor(em
) na parede pode ser estimado pela equação q"
C.x, onde C é uma constante dimensional e x é a posição axial ao longo do tubo, medida em metros. Determine o comprimento de tubo necessário para que a temperatura “bulk” do fluido caia para um valor de
do valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Temos um fluido que circula numa tubulação de diâmetro
e velocidade
. Externamente ele é resfriado por ar, de modo que o fluxo de calor na parede varia com a posição
segundo
Queremos achar o comprimento
Conteúdo envolvido:
- Balanço de energia em escoamento (diferença de temperatura ligada ao calor removido).
- Cálculo de fluxo de calor total a partir de
- Integração de uma equação diferencial para obter
Passo 2
Primeiro, vamos montar o balanço de energia para um pedacinho de tubo de comprimento
.
- A massa que passa por segundo é
, sendo . - A energia que sai desse fluido quando sua temperatura cai de
para é
3. Mas essa mesma energia é a que sai pela parede nesse, dada por
$$d\dot Q = q’’(x),\underbrace{P,dx}_{área lateral}= C\,x \;(\pi D)\,dx.$$
Aqui
é o perímetro da seção.
Passo 3
Agora igualamos as duas expressões de energia:
O sinal “–” aparece porque a temperatura do fluido cai.
Isolando
Isso é uma equação diferencial simples do tipo
, com
.
Passo 4
Integramos de
até
e de
até
:
Na prática:
Resposta
Basta substituir
e
. Depois de simplificar a razão
, obtemos: