Um fluido escoando a v(m / s) por uma tubulação de diâmetro D(m) é resfriado externamente por meio de uma corrente de ar ambiente, sob circunstâncias nas quais ,o fluxo de calor(em W / m^2 ) na parede pode ser estimado pela equação q" = C.x, onde C é uma constante dimensional e x é a posição axial ao longo do tubo, medida em metros. Determine o comprimento de tubo necessário para que a temperatura “bulk” do fluido caia para um valor de 10 % do valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Temos um fluido que circula numa tubulação de diâmetro D e velocidade v. Externamente ele é resfriado por ar, de modo que o fluxo de calor na parede varia com a posição x segundo
q''(x) = C,xl[W/m^2r]
Queremos achar o comprimento L do tubo para que a temperatura “bulk” do fluido caia até 10% do valor inicial T0.
Conteúdo envolvido:
- Balanço de energia em escoamento (diferença de temperatura ligada ao calor removido).
- Cálculo de fluxo de calor total a partir de q''(x).
- Integração de uma equação diferencial para obter T(x).

Passo 2

Primeiro, vamos montar o balanço de energia para um pedacinho de tubo de comprimento dx.
  1. A massa que passa por segundo é dot m = rho,A,v, sendo A = pi D^24.
  2. A energia que sai desse fluido quando sua temperatura cai de T para T+dT é dot Q = dot m,cp,dT
    3. Mas essa mesma energia é a que sai pela parede nesse dx, dada por
    $$d\dot Q = q’’(x),\underbrace{P,dx}_{área lateral}
          = C\,x \;(\pi D)\,dx.$$  
    
Aqui ddot Q = q''(x),underbraceP,dxárea lateral = C,x ;(pi D),dx é o perímetro da seção.

Passo 3

Agora igualamos as duas expressões de energia:
dot m,cp,dT = -C,x,(pi D),dx
O sinal “–” aparece porque a temperatura do fluido cai.
Isolando dT/dx dá:
dTdx = -C,pi Ddot m,cp;x
Isso é uma equação diferencial simples do tipo dT/dx = -K,x, com K = dfracC,pi Ddot m,cp.

Passo 4

Integramos de x=0 até x=L e de T=T0 até T(L)=0,1,T0:
integralT0^0,1T0 dT = -K integral0^L x,dx Longrightarrow l[,Tr]T0^0.1T0 = -K;L^22
Na prática:
0.1,T0 - T0 = -K,L^22 Longrightarrow -0.9,T0 = -K,L^22 ;;Rightarrow;; L^2 = 2cdot0.9,T0K

Resposta

Basta substituir K = dfracC,pi Ddot m,cp e dot m=rho,pi D^24,v. Depois de simplificar a razão tfracpi D^2/4pi D = tfracD4, obtemos:
L ;=;raiz 2cdot0.9,T0,dfracC,pi Drho,pi D^24,v,cp, ;=;raiz1.8,rho,v,cp,T0,l(D/4r)C ;=;raiz0.45,rho,v,cp,T0,DC,

Exercícios relacionados