Um átomo em um estado excitado tem uma vida média de 12 ns ; em um segundo estado excitado a vida média é de 23 ns. Qual a incerteza na energia para um fóton emitido quando um elétron faz a transição entre estes dois estados?

Passo 1

O enunciado dá duas vidas médias (tempos de decaimento) para dois estados excitados e pede a incerteza na energia do fóton emitido na transição entre esses estados. Dados fornecidos:
\tau_1 = 12\\ \text{ns},\qquad \tau_2 = 23\\ \text{ns}.
Pergunta clara: calcular \Delta E, a incerteza na energia do fóton emitido.

Passo 2

Conceito chave: princípio da incerteza energia–tempo. A versão usual (ordem de grandeza) é
\Delta E\,\Delta t \sim \hbar,
onde \hbar é a constante de Planck reduzida e \Delta t é o tempo característico durante o qual o estado “dura” (vida média). Aqui vamos usar a aproximação prática
\Delta E \approx \frac{\hbar}{\Delta t}.
Explicação intuitiva: quanto menor o tempo que o estado existe, maior a incerteza na energia associada ao processo de emissão.

Passo 3

Quando tanto o estado inicial quanto o final têm tempo de vida finito, a coerência entre eles (que determina a largura espectral do fóton) decai com a soma das taxas de decaimento. Se cada estado decai exponencialmente como e^{-t/\tau_1} e e^{-t/\tau_2}, a combinação relevante decai como e^{-t(1/\tau_1+1/\tau_2)}. Portanto a taxa efetiva de decaimento é
\gamma_{\text{eff}}=\frac{1}{\tau_1}+\frac{1}{\tau_2},
e o tempo característico efetivo (vida média da coerência) é
\tau_{\text{eff}}=\frac{1}{\gamma_{\text{eff}}}=\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{\tau_1}+\frac{1}{\tau_2}}.
Usamos então \Delta t=\tau_{\text{eff}} na expressão de incerteza.

Passo 4

Calcular a soma das taxas com conversão de unidades ( 1\\ \text{ns}=10^{-9}\\ \text{s}):
\frac{1}{\tau_1}+\frac{1}{\tau_2} =\frac{1}{12\times10^{-9}}+\frac{1}{23\times10^{-9}} =\Bigl(\frac{1}{12}+\frac{1}{23}\Bigr)\times10^{9} =\frac{35}{276}\times10^{9} \approx 1{,}26811594\times10^{8}\\ \text{s}^{-1}.

Passo 5

Usando \Delta E \approx \hbar\bigl(\tfrac{1}{\tau_1}+\tfrac{1}{\tau_2}\bigr) e \hbar\approx 1{,}055\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}:
\Delta E \approx 1{,}055\times10^{-34}\times 1{,}26811594\times10^{8} \approx 1{,}34\times10^{-26}\\ \mathrm{J}.
Converter para elétron-volts usando 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
\Delta E \approx \frac{1{,}34\times10^{-26}}{1{,}602\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV} \approx 8{,}35\times10^{-8}\\ \mathrm{eV}.

Passo 6

Interpretação/observação didática e encorajamento: o valor obtido é extremamente pequeno — é por isso que linhas atômicas naturais são muito estreitas. Note que há convenções (fatores numéricos como 1/2 ou 1/4) dependendo da definição exata de “incerteza” (p.ex. relacionando-se a meia-altura da curva de Lorentz), mas a fórmula usada aqui dá a ordem de grandeza correta e é a adotada em muitos problemas introdutórios de espectroscopia.

Resposta

\Delta E \approx 1{,}34\times10^{-26}\\ \mathrm{J}
\Delta E \approx 8{,}35\times10^{-8}\\ \mathrm{eV}

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