Um átomo em um estado excitado tem uma vida média de 12 ns ; em um segundo estado excitado a vida média é de 23 ns. Qual a incerteza na energia para um fóton emitido quando um elétron faz a transição entre estes dois estados?
Passo 1
O enunciado dá duas vidas médias (tempos de decaimento) para dois estados excitados e pede a incerteza na energia do fóton emitido na transição entre esses estados. Dados fornecidos:
Pergunta clara: calcular
, a incerteza na energia do fóton emitido.
Passo 2
Conceito chave: princípio da incerteza energia–tempo. A versão usual (ordem de grandeza) é
onde
é a constante de Planck reduzida e
é o tempo característico durante o qual o estado “dura” (vida média). Aqui vamos usar a aproximação prática
Explicação intuitiva: quanto menor o tempo que o estado existe, maior a incerteza na energia associada ao processo de emissão.
Passo 3
Quando tanto o estado inicial quanto o final têm tempo de vida finito, a coerência entre eles (que determina a largura espectral do fóton) decai com a soma das taxas de decaimento. Se cada estado decai exponencialmente como
e
, a combinação relevante decai como
. Portanto a taxa efetiva de decaimento é
e o tempo característico efetivo (vida média da coerência) é
Usamos então
na expressão de incerteza.
Passo 4
Calcular a soma das taxas com conversão de unidades (
):
Passo 5
Usando
e
:
Converter para elétron-volts usando
:
Passo 6
Interpretação/observação didática e encorajamento: o valor obtido é extremamente pequeno — é por isso que linhas atômicas naturais são muito estreitas. Note que há convenções (fatores numéricos como
ou
) dependendo da definição exata de “incerteza” (p.ex. relacionando-se a meia-altura da curva de Lorentz), mas a fórmula usada aqui dá a ordem de grandeza correta e é a adotada em muitos problemas introdutórios de espectroscopia.