(a) Um fóton no espaço vazio tem uma energia de 1,5 \mathrm{eV} \mathrm{e} um elétron, também no espaço vazio, tem uma energia cinética de mesmo valor. (b) Repita para uma energia de 1,5 GeV .

Passo 1

O enunciado pede que, para duas energias diferentes, a mesma para um fóton e para um elétron (que tem essa energia como energia cinética), encontremos as quantidades relacionadas às ondas/partículas. Os dados fornecidos são:
\text{(i) } E=1{,}5\\ \mathrm{eV}, \qquad \text{(ii) } E=1{,}5\\ \mathrm{GeV}.
Em cada caso temos um fóton com energia E no vácuo e um elétron com energia cinética K=E no vácuo. A tarefa é repetir o mesmo cálculo para os dois valores de energia. Vou calcular as comprimentos de onda (de Broglie para o elétron e \lambda do fóton) e comparar os resultados. Listei as constantes que usarei no próximo passo.

Passo 2

Constantes e relações fundamentais (explicando cada símbolo):
h = 6{,}62607015\times 10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s} \quad\text{(constante de Planck)}
c = 2{,}99792458\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s} \quad\text{(velocidade da luz no vácuo)}á
m_e = 9{,}10938356\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg} \quad\text{(massa de repouso do elétron)}é
1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J} \quad\text{(conversão de eV para joule)}ã
Relações que vamos usar:
  • Para o fóton, a energia está ligada ao comprimento de onda por
E = \frac{hc}{\lambda}\quad\Rightarrow\quad \lambda = \frac{hc}{E},
onde E é a energia do fóton, h é a constante de Planck, c é a velocidade da luz e \lambda é o comprimento de onda do fóton.
  • Para o elétron, a relação de de Broglie é
\lambda = \frac{h}{p},
onde p é o ímpeto (momento linear) do elétron. A relação entre energia cinética K e o ímpeto depende se o elétron é não-relativístico ou relativístico:
  • Não-relativístico (válido quando K\ll m_e c^2):
p = \sqrt{2 m_e K}.
  • Relativístico (válido sempre; usada quando K não é muito pequeno em relação a m_e c^2):
p = \frac{1}{c}\sqrt{(K + m_e c^2)^2 - (m_e c^2)^2}
que se simplifica para
p = \frac{\sqrt{K^2 + 2K m_e c^2}}{c}.
Explico: m_e c^2 é a energia de repouso do elétron, K é a energia cinética, e a fórmula vem de (E_{\text{total}})^2 = (p c)^2 + (m_e c^2)^2 com E_{\text{total}} = K + m_e c^2.

Passo 3

Cálculo para E=1{,}5\\ \mathrm{eV} — fóton.
Primeiro converto energia para as unidades compatíveis ou uso a forma prática hc em \mathrm{eV\cdot m}. Uma forma conveniente é lembrar que hc \approx 1{,}239841984\times 10^{-6}\\ \mathrm{eV\cdot m} (ou 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}). Assim:
\lambda_{\text{fóton}}=\frac{hc}{E}=\frac{1{,}239841984\times 10^{-6}\\ \mathrm{eV\cdot m}}{1{,}5\\ \mathrm{eV}}.ó
Calculando:
\lambda_{\text{fóton}} \approx 8{,}265613226\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}\approx 8{,}27\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.ó
Em unidades mais usuais: \lambda_{\text{fóton}}\approx 827\\ \mathrm{nm}ó (luz infravermelha próxima).

Passo 4

Cálculo para E=1{,}5\\ \mathrm{eV} — elétron (não-relativístico).
Primeiro verifico se posso usar a aproximação não-relativística: a energia de repouso do elétron é
m_e c^2 \approx 511\\\ 000\\ \mathrm{eV}=5{,}11\times 10^{5}\\ \mathrm{eV}.
Como 1{,}5\\ \mathrm{eV}\ll 5{,}11\times 10^{5}\\ \mathrm{eV}, a aproximação não-relativística é perfeitamente válida. Então uso
p=\sqrt{2 m_e K}.
Converto K para joules:
K = 1{,}5\\ \mathrm{eV} = 1{,}5\times 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J} = 2{,}403264951\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Agora calculo p:
p=\sqrt{2\cdot (9{,}10938356\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg})\cdot (2{,}403264951\times 10^{-19}\\ \mathrm{J})} \approx 2{,}091492\times 10^{-24}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Finalmente o comprimento de onda de Broglie:
\lambda_{\text{el}}=\frac{h}{p}=\frac{6{,}62607015\times 10^{-34}}{2{,}091492\times 10^{-24}}\\ \mathrm{m} \approx 3{,}168759\times 10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Em termos práticos: \lambda_{\text{el}}\approx 3{,}17\times 10^{-10}\\ \mathrm{m}=0{,}317\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Interpretação do caso 1{,}5\\ \mathrm{eV}.
  • O fóton tem \lambda_{\text{fóton}}\approx 8{,}27\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}ó (≈827 nm).
  • O elétron com a mesma energia cinética tem \lambda_{\text{el}}\approx 3{,}17\times 10^{-10}\\ \mathrm{m} (≈0,317 nm).
    Conclusão física: o comprimento de onda do elétron é muito menor (ordem de milhares de vezes menor) do que o do fóton para a mesma energia numérica de 1{,}5\\ \mathrm{eV}. Isso ocorre porque o fóton relaciona energia e comprimento de onda por E=hc/\lambda, enquanto o elétron tem massa e sua relação energia–momento é diferente.

Passo 6

Cálculo para E=1{,}5\\ \mathrm{GeV} — fóton.
Agora E=1{,}5\\ \mathrm{GeV}=1{,}5\times 10^{9}\\ \mathrm{eV}. Usando a mesma fórmula do fóton:
\lambda_{\text{fóton}}=\frac{hc}{E}=\frac{1{,}239841984\times 10^{-6}\\ \mathrm{eV\cdot m}}{1{,}5\times 10^{9}\\ \mathrm{eV}} \approx 8{,}265613226\times 10^{-16}\\ \mathrm{m},ó
ou seja \lambda_{\text{fóton}}\approx 8{,}27\times 10^{-16}\\ \mathrm{m}ó.

Passo 7

Cálculo para E=1{,}5\\ \mathrm{GeV} — elétron (relativístico).
Agora K=1{,}5\\ \mathrm{GeV} é muito maior que m_e c^2 ( 1{,}5\times 10^{9}\\ \mathrm{eV}\gg 5{,}11\times 10^{5}\\ \mathrm{eV}), então o elétron é ultra-relativístico e devo usar a fórmula relativística para p:
p=\frac{\sqrt{K^2 + 2K m_e c^2}}{c}.
Converto K e m_e c^2 para joules:
K = 1{,}5\times 10^{9}\\ \mathrm{eV} = 2{,}403264951\times 10^{-10}\\ \mathrm{J},
m_e c^2 \approx 8{,}1871057769\times 10^{-14}\\ \mathrm{J}.
Calculo o termo dentro da raiz:
K^2 = (2{,}403264951\times 10^{-10})^2 \approx 5{,}776\ldots\times 10^{-20}\\ \mathrm{J^2},
2K m_e c^2 \approx 2\cdot (2{,}403264951\times 10^{-10})\cdot (8{,}1871057769\times 10^{-14}) \approx 3{,}9366\times 10^{-23}\\ \mathrm{J^2},
note que K^2 domina claramente (é ≈1000 vezes maior) e assim p\approx K/c com ótima precisão. Então:
p\approx \frac{K}{c}=\frac{2{,}403264951\times 10^{-10}}{2{,}99792458\times 10^{8}}\\ \mathrm{kg\cdot m/s} \approx 8{,}016999\times 10^{-19}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
O comprimento de onda de Broglie do elétron é
\lambda_{\text{el}}=\frac{h}{p}\approx \frac{6{,}62607015\times 10^{-34}}{8{,}016999\times 10^{-19}}\\ \mathrm{m} \approx 8{,}266986\times 10^{-16}\\ \mathrm{m}.
Isso coincide, ao número de dígitos mostrados, com o comprimento de onda do fóton calculado no Passo 6. Física: quando a energia cinética do elétron é muito maior que sua energia de repouso, a relação relativística aproxima E_{\text{total}}\approx pc, e assim a sua “comprimento de onda associada” fica praticamente igual ao comprimento de onda do fóton com a mesma energia.

Passo 8

Resumo físico e comparação final curta:
  • Para energias muito pequenas comparadas à energia de repouso do elétron a relação hora é diferente (elétron não-relativístico) e o comprimento de onda do elétron é muito menor que o do fóton para a mesma energia numérica.
  • Para energias muito altas (ultra-relativísticas) o elétron tem E\approx pc e seu comprimento de onda de Broglie coincide essencialmente com o comprimento de onda do fóton de mesma energia.

Resposta

(a) Fóton: \lambda_{\text{fóton}}\approx 8{,}27\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}ó
(a) Elétron: \lambda_{\text{el}}\approx 3{,}17\times 10^{-10}\\ \mathrm{m}
(b) Fóton: \lambda_{\text{fóton}}\approx 8{,}27\times 10^{-16}\\ \mathrm{m}ó
(b) Elétron: \lambda_{\text{el}}\approx 8{,}27\times 10^{-16}\\ \mathrm{m}

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