(a) Um fóton no espaço vazio tem uma energia de
um elétron, também no espaço vazio, tem uma energia cinética de mesmo valor. (b) Repita para uma energia de 1,5 GeV .
Passo 1
O enunciado pede que, para duas energias diferentes, a mesma para um fóton e para um elétron (que tem essa energia como energia cinética), encontremos as quantidades relacionadas às ondas/partículas. Os dados fornecidos são:
Em cada caso temos um fóton com energia
no vácuo e um elétron com energia cinética
no vácuo. A tarefa é repetir o mesmo cálculo para os dois valores de energia. Vou calcular as comprimentos de onda (de Broglie para o elétron e
do fóton) e comparar os resultados. Listei as constantes que usarei no próximo passo.
Passo 2
Constantes e relações fundamentais (explicando cada símbolo):
Relações que vamos usar:
- Para o fóton, a energia está ligada ao comprimento de onda por
onde
é a energia do fóton,
é a constante de Planck,
é a velocidade da luz e
é o comprimento de onda do fóton.
- Para o elétron, a relação de de Broglie é
onde
é o ímpeto (momento linear) do elétron. A relação entre energia cinética
e o ímpeto depende se o elétron é não-relativístico ou relativístico:
- Não-relativístico (válido quando
):
- Relativístico (válido sempre; usada quando
não é muito pequeno em relação a ):
que se simplifica para
Explico:
é a energia de repouso do elétron,
é a energia cinética, e a fórmula vem de
com
.
Passo 3
Cálculo para
— fóton.
Primeiro converto energia para as unidades compatíveis ou uso a forma prática em
. Uma forma conveniente é lembrar que
(ou
). Assim:
Primeiro converto energia para as unidades compatíveis ou uso a forma prática
Calculando:
Em unidades mais usuais:
(luz infravermelha próxima).
Passo 4
Cálculo para
— elétron (não-relativístico).
Primeiro verifico se posso usar a aproximação não-relativística: a energia de repouso do elétron é
Primeiro verifico se posso usar a aproximação não-relativística: a energia de repouso do elétron é
Como
, a aproximação não-relativística é perfeitamente válida. Então uso
Converto
para joules:
Agora calculo
:
Finalmente o comprimento de onda de Broglie:
Em termos práticos:
.
Passo 5
Interpretação do caso
.
- O fóton tem
(≈827 nm). - O elétron com a mesma energia cinética tem
(≈0,317 nm).
Conclusão física: o comprimento de onda do elétron é muito menor (ordem de milhares de vezes menor) do que o do fóton para a mesma energia numérica de. Isso ocorre porque o fóton relaciona energia e comprimento de onda por , enquanto o elétron tem massa e sua relação energia–momento é diferente.
Passo 6
Cálculo para
— fóton.
Agora . Usando a mesma fórmula do fóton:
Agora
ou seja
.
Passo 7
Cálculo para
— elétron (relativístico).
Agora é muito maior que
(
), então o elétron é ultra-relativístico e devo usar a fórmula relativística para
:
Agora
Converto
e
para joules:
Calculo o termo dentro da raiz:
note que
domina claramente (é ≈1000 vezes maior) e assim
com ótima precisão. Então:
O comprimento de onda de Broglie do elétron é
Isso coincide, ao número de dígitos mostrados, com o comprimento de onda do fóton calculado no Passo 6. Física: quando a energia cinética do elétron é muito maior que sua energia de repouso, a relação relativística aproxima
, e assim a sua “comprimento de onda associada” fica praticamente igual ao comprimento de onda do fóton com a mesma energia.
Passo 8
Resumo físico e comparação final curta:
- Para energias muito pequenas comparadas à energia de repouso do elétron a relação hora é diferente (elétron não-relativístico) e o comprimento de onda do elétron é muito menor que o do fóton para a mesma energia numérica.
- Para energias muito altas (ultra-relativísticas) o elétron tem
e seu comprimento de onda de Broglie coincide essencialmente com o comprimento de onda do fóton de mesma energia.
Resposta
(a) Fóton:
(a) Elétron:
(a) Elétron:
(b) Fóton:
(b) Elétron:
(b) Elétron: