Um elétron é confinado em uma caixa do tamanho de um átomo de modo que um lado da caixa tem um comprimento
. (a) Calcule a incerteza na quantidade de movimento
do elétron. (b) Supondo que o elétron esteja “ricocheteando” dentro da caixa com uma quantidade de movimento
, calcule a energia cinética do elétron. Expresse a sua resposta em elétronvolts.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a incerteza na quantidade de movimento
de um elétron confinado numa “caixa” com um lado de comprimento . - Supondo que o elétron esteja ricocheteando na caixa com quantidade de movimento
, calcular sua energia cinética e expressá‑la em elétronvolts.
Dados relevantes (retirados do enunciado ou constantes físicas necessárias):
massa do elétron
constante reduzida de Planck
conversão de energia
Passo 2
Vou usar o princípio da incerteza de Heisenberg para relacionar
e
. A forma mais conhecida é
Aqui
é a incerteza na posição (a “tamanho” do confinamento) e
é a incerteza na quantidade de movimento. Para estimativas de ordem de grandeza é comum tomar a igualdade (caso de incerteza mínima), ou seja:
Explico por que: a desigualdade dá um limite inferior — se o elétron estiver o mais “concentrado” possível compatível com a mecânica quântica,
terá aproximadamente esse valor. Isso nos dá uma estimativa razoável para a incerteza e, seguindo a hipótese do enunciado, para a própria quantidade de movimento.
Passo 3
Calculemos
substituindo os valores:
Fazendo as contas:
Passo 4
Agora usamos a hipótese do enunciado
e calculamos a energia cinética clássica aproximada (válida como estimativa de ordem de grandeza):
Primeiro calculemos
:
Agora dividimos por
:
Passo 5
Converter a energia de joules para elétronvolts usando
:
Passo 6
Comentário didático e encorajador: essa é uma estimativa baseada no princípio da incerteza e na hipótese
. Dependendo da forma precisa do potencial (por exemplo, um poço infinito de potencial descrevendo melhor a “caixa”), o valor real da energia do estado fundamental pode ser diferente (tipicamente maior). Mesmo assim, este procedimento é exatamente o tipo de aproximação rápida que vale a pena usar numa prova para ter um resultado em minutos — você fez a escolha certa ao pedir uma resposta passo a passo. Força aí — dá pra esse tipo de cálculo na prova!
Resposta
(a)
\n(b)