Um elétron é confinado em uma caixa do tamanho de um átomo de modo que um lado da caixa tem um comprimento d=0,1 \mathrm{~nm}. (a) Calcule a incerteza na quantidade de movimento \Delta p do elétron. (b) Supondo que o elétron esteja “ricocheteando” dentro da caixa com uma quantidade de movimento p \approx \Delta p, calcule a energia cinética do elétron. Expresse a sua resposta em elétronvolts.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular a incerteza na quantidade de movimento \Delta p de um elétron confinado numa “caixa” com um lado de comprimento d=0,1\\ \mathrm{nm}.
  2. Supondo que o elétron esteja ricocheteando na caixa com quantidade de movimento p\approx\Delta p, calcular sua energia cinética e expressá‑la em elétronvolts.
Dados relevantes (retirados do enunciado ou constantes físicas necessárias):
\Delta x\approx d=0,1\\ \mathrm{nm}=1{,}0\times10^{-10}\\ \mathrm{m},
massa do elétron
m=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},
constante reduzida de Planck
\hbar=1{,}054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},
conversão de energia
1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 2

Vou usar o princípio da incerteza de Heisenberg para relacionar \Delta x e \Delta p. A forma mais conhecida é
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}.
Aqui \Delta x é a incerteza na posição (a “tamanho” do confinamento) e \Delta p é a incerteza na quantidade de movimento. Para estimativas de ordem de grandeza é comum tomar a igualdade (caso de incerteza mínima), ou seja:
\Delta p \approx \frac{\hbar}{2\,\Delta x}.
Explico por que: a desigualdade dá um limite inferior — se o elétron estiver o mais “concentrado” possível compatível com a mecânica quântica, \Delta p terá aproximadamente esse valor. Isso nos dá uma estimativa razoável para a incerteza e, seguindo a hipótese do enunciado, para a própria quantidade de movimento.

Passo 3

Calculemos \Delta p substituindo os valores:
\Delta p \approx \frac{\hbar}{2\,\Delta x} = \frac{1{,}054571817\times10^{-34}}{2\times(1{,}0\times10^{-10})}\\ \mathrm{kg\,m/s}.
Fazendo as contas:
\Delta p \approx \frac{1{,}054571817\times10^{-34}}{2{,}0\times10^{-10}} =5{,}27\times10^{-25}\\ \mathrm{kg\;m/s}.

Passo 4

Agora usamos a hipótese do enunciado p\approx\Delta p e calculamos a energia cinética clássica aproximada (válida como estimativa de ordem de grandeza):
K \approx \frac{p^{2}}{2m}\approx\frac{(\Delta p)^{2}}{2m}.
Primeiro calculemos (\Delta p)^{2}:
(\Delta p)^{2}=(5{,}27\times10^{-25})^{2}=2{,}78\times10^{-49}\\ \mathrm{kg^{2}\,m^{2}/s^{2}}.
Agora dividimos por 2m:
2m=2\times9{,}10938356\times10^{-31}=1{,}821876712\times10^{-30}\\ \mathrm{kg},
K \approx \frac{2{,}78\times10^{-49}}{1{,}821876712\times10^{-30}} =1{,}53\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Converter a energia de joules para elétronvolts usando 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}:
K\\ (\mathrm{eV})=\frac{1{,}53\times10^{-19}}{1{,}602176634\times10^{-19}} \approx0{,}953\\ \mathrm{eV}.

Passo 6

Comentário didático e encorajador: essa é uma estimativa baseada no princípio da incerteza e na hipótese p\approx\Delta p. Dependendo da forma precisa do potencial (por exemplo, um poço infinito de potencial descrevendo melhor a “caixa”), o valor real da energia do estado fundamental pode ser diferente (tipicamente maior). Mesmo assim, este procedimento é exatamente o tipo de aproximação rápida que vale a pena usar numa prova para ter um resultado em minutos — você fez a escolha certa ao pedir uma resposta passo a passo. Força aí — dá pra esse tipo de cálculo na prova!

Resposta

(a) \Delta p \approx 5{,}27\times10^{-25}\\ \mathrm{kg\;m/s}\n(b) K \approx 0{,}953\\ \mathrm{eV}

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