Para o átomo de hélio, explique qualitativamente como o princípio de exclusão de Pauli e a repulsão coulombiana influenciam seus níveis de energia.
Passo 1
O enunciado pede: explicar, de forma qualitativa, como o princípio de exclusão de Pauli e a repulsão coulombiana influenciam os níveis de energia do átomo de hélio.
Informações relevantes que podemos usar sem perguntar nada: o átomo de hélio tem núcleo com carga e dois elétrons; no estado fundamental ambos ocupam o orbital
(configuração
); existe interação coulombiana entre cada elétron e o núcleo e entre os dois elétrons; o princípio de Pauli obriga a função de onda total dos elétrons a ser antissimétrica sob troca dos dois elétrons.
Informações relevantes que podemos usar sem perguntar nada: o átomo de hélio tem núcleo com carga
Passo 2
Modelo de referência e termo responsável pela interação entre elétrons. Vou escrever a forma qualitativa do Hamiltoniano (energia total) do átomo de hélio para fixar as ideias:
Expliquei cada termo: os dois primeiros são as energias cinéticas dos elétrons; os dois termos seguintes são a atração coulombiana de cada elétron pelo núcleo; o último termo,
, é a repulsão coulombiana entre os dois elétrons. É esse último termo que faz o problema ser de muitos corpos e altera fortemente os níveis em relação a dois elétrons independentes.
Passo 3
O que diz o princípio de exclusão de Pauli e consequência imediata no hélio.
- O princípio de Pauli diz que dois férmions (elétrons) não podem ter exatamente o mesmo conjunto de números quânticos; equivalentemente, a função de onda total deve ser antissimétrica sob troca dos elétrons.
- Na prática: no estado fundamental de hélio ambos podem ocupar o mesmo orbital espacial
somente se tiverem spins opostos (formando um estado singlete de spin). Ou seja, o par é permitido porque os spins são diferentes. - Para estados em que os spins são paralelos (triplet), a antissimetria impõe que a parte espacial da função de onda seja antissimétrica, o que reduz a probabilidade de os elétrons estarem próximos um do outro. Menor sobreposição espacial significa menor valor médio de
, ou seja, menos repulsão coulombiana entre os elétrons. Esse efeito energético associado à troca é chamado de energia de troca (exchange) e é uma manifestação direta do princípio de Pauli. - Consequência observável: para a mesma configuração eletrônica (por exemplo, um elétron em
e outro em ), os estados triplet tendem a ter energia mais baixa que os singlet correspondentes porque sofrem menos repulsão média.
Passo 4
Como a repulsão coulombiana atua e o conceito de blindagem (
).
- O termo
acrescenta energia positiva ao sistema: isso diminui a ligação global do átomo em relação ao caso hipotético de dois elétrons independentes ligados separadamente ao núcleo. Em palavras: a repulsão entre elétrons “tira” cada elétron para mais longe do núcleo, reduzindo a energia de ligação. - Isso é frequentemente descrito por uma carga nuclear efetiva
: cada elétron vê uma carga menor que por causa da blindagem criada pelo outro elétron. Uma aproximação útil (qualitativa) para níveis aproximados é
onde
é o número quântico principal e
é a energia do nível fundamental do hidrogênio. O efeito prático: os níveis do elétron externo ficam menos ligados (valores de energia mais altos, menos negativos) do que o previsto por
puro.
Passo 5
Um exemplo numérico simples para fixar a ideia (valores reais para comparação).
- Se os dois elétrons fossem independentes e cada um obedecesse a uma regra hidrogenoide com
, a soma das energias dos dois seria - O valor real da energia total do hélio no estado fundamental é aproximadamente
- A diferença
entre e mostra quão importante é a repulsão eletrônica (e correlações) — ela reduz a ligação total do átomo. - Outro número útil: a energia do íon
no estado fundamental (um elétron só, hidrogenoide com ) é ; a primeira energia de ionização do hélio é , que é a diferença entre e . Esses valores mostram como a interação entre elétrons modifica fortemente níveis e energias de ligação.
Passo 6
Consequências espectroscópicas e de dinâmica eletrônica, relacionadas aos dois efeitos.
- Pauli/exchange gera separação entre estados singlet e triplet (splitting de troca). Isso também impõe regras de seleção de spin: transições entre singlete e triplete são, na maioria dos casos, “spin-forbiddens” (muito fracas), o que torna certos estados triplet longamente metaestáveis (por exemplo,
em hélio é muito estável contra decaimento radiativo para o solo). - A repulsão coulombiana e a blindagem removem degenerações puras (como as degenerescências de hidrogênio), deslocam linhas espectrais em relação ao modelo hidrogenoide e tornam necessários modelos de muitos corpos (Hartree, Hartree–Fock, métodos de correlação) para prever com precisão as posições das linhas.
Passo 7
Resumo intuitivo e linguagem de prova (como explicar rápido na hora):
- Diga primeiro que a repulsão entre elétrons (termo
) aumenta a energia do átomo (tira ligação), causa blindagem efetiva ( ) e desloca os níveis para valores menos ligados. Dê o número comparativo (modelo sem interação) versus (real) para mostrar a ordem de grandeza. - Acrescente que o princípio de Pauli modifica a parte espacial da função de onda: spins paralelos (triplet) forçam separação espacial média maior, reduzindo repulsão e baixando a energia relativa desses estados; isso gera singlete/triplete diferentes energias e transições spin-forbidden (estado triplet pode ser metaestável).
- Conclua dizendo que, juntos, Pauli e a repulsão coulombiana determinam a estrutura fina dos níveis do hélio: o primeiro organiza a simetria e a distribuição espacial (e cria a troca), o segundo fixa a magnitude do deslocamento dos níveis e a blindagem.
Resposta
Pauli: obriga antissimetria da função de onda; para spins paralelos (triplet) a parte espacial fica mais separada, reduzindo a repulsão média e baixando a energia relativa — causa splitting singlete/triplete e transições spin-forbidden (estados triplet podem ser metaestáveis).
Repulsão coulombiana: o termo aumenta a energia total (diminui a ligação), produz blindagem (reduz
) e desloca os níveis para valores menos ligados; por exemplo, o modelo sem interação daria
enquanto o valor real do He é cerca de
, mostrando o grande efeito da interação eletrônica.
Repulsão coulombiana: o termo