Para o átomo de hélio, explique qualitativamente como o princípio de exclusão de Pauli e a repulsão coulombiana influenciam seus níveis de energia.

Passo 1

O enunciado pede: explicar, de forma qualitativa, como o princípio de exclusão de Pauli e a repulsão coulombiana influenciam os níveis de energia do átomo de hélio.
Informações relevantes que podemos usar sem perguntar nada: o átomo de hélio tem núcleo com carga Z=2 e dois elétrons; no estado fundamental ambos ocupam o orbital 1s (configuração 1s^2); existe interação coulombiana entre cada elétron e o núcleo e entre os dois elétrons; o princípio de Pauli obriga a função de onda total dos elétrons a ser antissimétrica sob troca dos dois elétrons.

Passo 2

Modelo de referência e termo responsável pela interação entre elétrons. Vou escrever a forma qualitativa do Hamiltoniano (energia total) do átomo de hélio para fixar as ideias:
H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_1^2 -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_2^2 -\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r_1} -\frac{Ze^2}{4\pi\varepsilon_0 r_2} +\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}}.
Expliquei cada termo: os dois primeiros são as energias cinéticas dos elétrons; os dois termos seguintes são a atração coulombiana de cada elétron pelo núcleo; o último termo, \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}}, é a repulsão coulombiana entre os dois elétrons. É esse último termo que faz o problema ser de muitos corpos e altera fortemente os níveis em relação a dois elétrons independentes.

Passo 3

O que diz o princípio de exclusão de Pauli e consequência imediata no hélio.
  • O princípio de Pauli diz que dois férmions (elétrons) não podem ter exatamente o mesmo conjunto de números quânticos; equivalentemente, a função de onda total deve ser antissimétrica sob troca dos elétrons.
  • Na prática: no estado fundamental de hélio ambos podem ocupar o mesmo orbital espacial 1s somente se tiverem spins opostos (formando um estado singlete de spin). Ou seja, o par 1s^2 é permitido porque os spins são diferentes.
  • Para estados em que os spins são paralelos (triplet), a antissimetria impõe que a parte espacial da função de onda seja antissimétrica, o que reduz a probabilidade de os elétrons estarem próximos um do outro. Menor sobreposição espacial significa menor valor médio de 1/r_{12}, ou seja, menos repulsão coulombiana entre os elétrons. Esse efeito energético associado à troca é chamado de energia de troca (exchange) e é uma manifestação direta do princípio de Pauli.
  • Consequência observável: para a mesma configuração eletrônica (por exemplo, um elétron em 1s e outro em 2s), os estados triplet tendem a ter energia mais baixa que os singlet correspondentes porque sofrem menos repulsão média.

Passo 4

Como a repulsão coulombiana atua e o conceito de blindagem ( Z_{\text{eff}}).
  • O termo \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}} acrescenta energia positiva ao sistema: isso diminui a ligação global do átomo em relação ao caso hipotético de dois elétrons independentes ligados separadamente ao núcleo. Em palavras: a repulsão entre elétrons “tira” cada elétron para mais longe do núcleo, reduzindo a energia de ligação.
  • Isso é frequentemente descrito por uma carga nuclear efetiva \;Z_{\text{eff}}\;: cada elétron vê uma carga menor que Z por causa da blindagem criada pelo outro elétron. Uma aproximação útil (qualitativa) para níveis aproximados é
E_n \approx -\frac{Z_{\text{eff}}^2}{n^2}\,13{,}6\\ \text{eV},
onde n é o número quântico principal e 13{,}6\\ \text{eV} é a energia do nível fundamental do hidrogênio. O efeito prático: os níveis do elétron externo ficam menos ligados (valores de energia mais altos, menos negativos) do que o previsto por Z puro.

Passo 5

Um exemplo numérico simples para fixar a ideia (valores reais para comparação).
  • Se os dois elétrons fossem independentes e cada um obedecesse a uma regra hidrogenoide com Z=2, a soma das energias dos dois seria -2\times (2^2\times13{,}6\\ \text{eV}) = -108{,}8\\ \text{eV}.
  • O valor real da energia total do hélio no estado fundamental é aproximadamente -78{,}99\\ \text{eV}.
  • A diferença \sim 29{,}8\\ \text{eV} entre -108{,}8\\ \text{eV} e -78{,}99\\ \text{eV} mostra quão importante é a repulsão eletrônica (e correlações) — ela reduz a ligação total do átomo.
  • Outro número útil: a energia do íon \mathrm{He}^+ no estado fundamental (um elétron só, hidrogenoide com Z=2) é -54{,}4\\ \text{eV}; a primeira energia de ionização do hélio é \approx 24{,}59\\ \text{eV}, que é a diferença entre -78{,}99\\ \text{eV} e -54{,}4\\ \text{eV}. Esses valores mostram como a interação entre elétrons modifica fortemente níveis e energias de ligação.

Passo 6

Consequências espectroscópicas e de dinâmica eletrônica, relacionadas aos dois efeitos.
  • Pauli/exchange gera separação entre estados singlet e triplet (splitting de troca). Isso também impõe regras de seleção de spin: transições entre singlete e triplete são, na maioria dos casos, “spin-forbiddens” (muito fracas), o que torna certos estados triplet longamente metaestáveis (por exemplo, 2\,^3S em hélio é muito estável contra decaimento radiativo para o solo).
  • A repulsão coulombiana e a blindagem removem degenerações puras (como as degenerescências de hidrogênio), deslocam linhas espectrais em relação ao modelo hidrogenoide e tornam necessários modelos de muitos corpos (Hartree, Hartree–Fock, métodos de correlação) para prever com precisão as posições das linhas.

Passo 7

Resumo intuitivo e linguagem de prova (como explicar rápido na hora):
  • Diga primeiro que a repulsão entre elétrons (termo \propto 1/r_{12}) aumenta a energia do átomo (tira ligação), causa blindagem efetiva ( Z_{\text{eff}}<Z) e desloca os níveis para valores menos ligados. Dê o número comparativo -108{,}8\\ \text{eV} (modelo sem interação) versus -78{,}99\\ \text{eV} (real) para mostrar a ordem de grandeza.
  • Acrescente que o princípio de Pauli modifica a parte espacial da função de onda: spins paralelos (triplet) forçam separação espacial média maior, reduzindo repulsão e baixando a energia relativa desses estados; isso gera singlete/triplete diferentes energias e transições spin-forbidden (estado triplet pode ser metaestável).
  • Conclua dizendo que, juntos, Pauli e a repulsão coulombiana determinam a estrutura fina dos níveis do hélio: o primeiro organiza a simetria e a distribuição espacial (e cria a troca), o segundo fixa a magnitude do deslocamento dos níveis e a blindagem.

Resposta

Pauli: obriga antissimetria da função de onda; para spins paralelos (triplet) a parte espacial fica mais separada, reduzindo a repulsão média e baixando a energia relativa — causa splitting singlete/triplete e transições spin-forbidden (estados triplet podem ser metaestáveis).
Repulsão coulombiana: o termo e^2/(4\pi\varepsilon_0 r_{12}) aumenta a energia total (diminui a ligação), produz blindagem (reduz Z_{\text{eff}}) e desloca os níveis para valores menos ligados; por exemplo, o modelo sem interação daria -108{,}8\\ \text{eV} enquanto o valor real do He é cerca de -78{,}99\\ \text{eV}, mostrando o grande efeito da interação eletrônica.

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