Num átomo de hidrogênio um elétron se encontra no estado
psi=1raiz2 psi2,0,0+12 psi2,1,-1+12 psi2,1,0
onde
& H psin, l, m=En psin, l, m & L^2 psin, l, m=hbar^2 l(l+1) & L3 psin, l, m=hbar m psin, l, m
(a) Qual a probabilidade de, numa medida da projeção do momento angular na direção z, obtermos o valor 0 .
(b) Qual o valor médio do módulo do momento angular do estado acima?

Passo 1

O enunciado nos dá o estado
psi=1raiz2,psi2,0,0+12,psi2,1,-1+12,psi2,1,0
e pede:
bul<=t (a) a probabilidade de medir L3=0.
bul<=t (b) o valor médio do módulo do momento angular, isto é, de lvert Lrvert=raizhat L^2.
Para resolver vamos usar o postulado de medição em mecânica quântica (probabilidade dada pelos coeficientes ao quadrado) e os autovalores de hat L^2 e hat L3.

Passo 2

Identificamos os termos da superposição com m=0, pois uma medida de L3 só dará zero nesses componentes. Aqui temos:
psi2,0,0 com coeficiente c0=tfrac1raiz2 e
psi2,1,0 com coeficiente c1,0=tfrac12.
Os quadrados dos módulos desses coeficientes são as probabilidades de cada termo.

Passo 3

A probabilidade de ,L3=0 é a soma das probabilidades dos termos com m=0:
P(L3=0) =llvert c0rrvert^2 +llvert c1,0rrvert^2 =12+14 =34

Passo 4

Para o valor médio de lvert Lrvert usamos que psin,l,m é autoestado de hat L^2 com
hat L^2,psin,l,m =hbar^2,l(l+1),psin,l,m,
logo em cada componente lvert Lrvert=raizhat L^2 age como multiplicador raizl(l+1),hbar.
Assim
llang<= lvert Lrvertrrang<= =sumillvert cirrvert^2,raizli(li+1),hbar

Passo 5

No nosso caso temos três componentes, mas só as de l=1 contribuem (pois para l=0 dá zero):
bul<=t Para psi2,0,0 ( l=0) vem 0.
bul<=t Para psi2,1,-1 ( l=1) o coeficiente é c1,-1=tfrac12 e raiz1cdot2,hbar=raiz2,hbar. Probabilidade 1/4.
bul<=t Para psi2,1,0 ( l=1) o coeficiente é c1,0=tfrac12 e também dá raiz2,hbar. Probabilidade 1/4.
Logo
llang<= lvert Lrvertrrang<= =14,raiz2,hbar +14,raiz2,hbar =12,raiz2,hbar =raiz22,hbar

Resposta

(a) 34
(b) raiz22,hbar

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