Num átomo de hidrogênio um elétron se encontra no estado
onde
(a) Qual a probabilidade de, numa medida da projeção do momento angular na direção , obtermos o valor 0 .
(b) Qual o valor médio do módulo do momento angular do estado acima?
Passo 1
O enunciado nos dá o estado
e pede: (a) a probabilidade de medir . (b) o valor médio do módulo do momento angular, isto é, de .
Para resolver vamos usar o postulado de medição em mecânica quântica (probabilidade dada pelos coeficientes ao quadrado) e os autovalores de e .
Passo 2
Identificamos os termos da superposição com , pois uma medida de só dará zero nesses componentes. Aqui temos: com coeficiente e com coeficiente .
Os quadrados dos módulos desses coeficientes são as probabilidades de cada termo.
Passo 3
A probabilidade de é a soma das probabilidades dos termos com :
Passo 4
Para o valor médio de lvert Lrvert usamos que psin,l,m é autoestado de hat L^2 com
hat L^2,psin,l,m =hbar^2,l(l+1),psin,l,m,
logo em cada componente lvert Lrvert=raizhat L^2 age como multiplicador raizl(l+1),hbar.
Assim
No nosso caso temos três componentes, mas só as de l=1 contribuem (pois para l=0 dá zero): bul<=t Para psi2,0,0 (l=0) vem 0. bul<=t Para psi2,1,-1 (l=1) o coeficiente é c1,-1=tfrac12 e raiz1cdot2,hbar=raiz2,hbar. Probabilidade 1/4. bul<=t Para psi2,1,0 (l=1) o coeficiente é c1,0=tfrac12 e também dá raiz2,hbar. Probabilidade 1/4.
Logo