Para uma partícula sujeita a uma força constante, podemos medir simultaneamente a energia e o momento desta partícula?

Passo 1

O enunciado pergunta se, para uma partícula sujeita a uma força constante F, é possível medir simultaneamente a energia e o momento linear dessa partícula. Isso envolve operadores quânticos e a condição de compatibilidade de observáveis via o comutador e o princípio da incerteza de Heisenberg.

Passo 2

Escrevemos o Hamiltoniano da partícula sob força constante. Como F é constante, o potencial é
V(x)=-F,x
e o Hamiltoniano é
hat H = hat p^22m - F,hat x

Passo 3

Calculamos o comutador entre hat H e o operador momento hat p. Como [hat p^2,hat p]=0 e [hat x,hat p]=ihbar, temos
[hat H,hat p] =l[hat p^22m,hat pr]-F[hat x,hat p] =0 - F,(ihbar) =-,ihbar,F neq 0

Passo 4

Visto que [hat H,hat p]neq 0, energia e momento são observáveis incompatíveis. Pelo princípio da incerteza geral
De<a E,De<a p;>=;12l|lang<=[hat H,hat p]rang<=r| =hbar,|F|2,
logo não se pode obter valores precisos de E e p ao mesmo tempo.

Resposta

Não. Como o comutador [hat H,hat p]= -,ihbar,F é diferente de zero, energia e momento não são compatíveis e não podem ser medidos simultaneamente com precisão arbitrária.

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