O spin, ou momento angular intrínseco, é uma característica quântica sem análogo clássico. Para uma partícula de spin (por exemplo, o elétron) o valor do spin, quando medido numa determinada direção, pode assumir apenas dois valores. No espaço de Hilbert das matrizes o spin na direção está relacionado com o operador
(a) Verifique que é hermitiano;
(b) Encontre os auto-vetores e os auto valores de ;
(c) Decomponha o vetor
na base formada pelos auto-vetores de ;
(d) Se realizarmos uma medida do spin na direção de várias partículas no estado acima e tiramos a média destes valores, qual o valor que obteremos?
(e) Se numa medida do spin na direção obteve-se o valor , qual o estado da partícula após a medida.
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula de spin cuja componente do momento angular na direção é dada pelo operador
Os itens (a) a (e) pedem, respectivamente, para verificar hermiticidade, determinar autovalores e autovetores, decompor o estado nessa base, calcular o valor médio e indicar o estado pós-medida.
Passo 2
Para mostrar que é hermitiano, calculamos o adjunto
Como , seu hermitiano é
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Sy^dag>=r = hbar2,sigma2 = Sy,
ou seja, Sy é hermitiano.
Passo 3
Procuramos vetores
obtém-se vem e para vem . Tomando e normalizando, os autovetores normalizados de são
Como , os autovalores correspondentes são para e para .
Passo 4
Queremos escrever
|psirang<= = 10
na base |+rang<=,|-rang<=. Calculamos os coeficientes