O spin, ou momento angular intrínseco, é uma característica quântica sem análogo clássico. Para uma partícula de spin 1 / 2 (por exemplo, o elétron) o valor do spin, quando medido numa determinada direção, pode assumir apenas dois valores. No espaço de Hilbert das matrizes o spin na direção y está relacionado com o operador
Sy=hbar2 sigma2, sigma2=(cc 0 & -i i & 0 )
(a) Verifique que Sy é hermitiano;
(b) Encontre os auto-vetores e os auto valores de Sy;
(c) Decomponha o vetor
|psirang<==binom10,
na base formada pelos auto-vetores de Sy;
(d) Se realizarmos uma medida do spin na direção y de várias partículas no estado |psirang<= acima e tiramos a média destes valores, qual o valor que obteremos?
(e) Se numa medida do spin na direção y obteve-se o valor -hbar / 2, qual o estado da partícula após a medida.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de spin 1/2 cuja componente do momento angular na direção y é dada pelo operador
Sy = hbar2,sigma2, sigma2 = 0 & -i i & 0
Os itens (a) a (e) pedem, respectivamente, para verificar hermiticidade, determinar autovalores e autovetores, decompor o estado binom10 nessa base, calcular o valor médio e indicar o estado pós-medida.

Passo 2

Para mostrar que Sy é hermitiano, calculamos o adjunto
Sy^dag>=r = hbar2,l(sigma2r)^dag>=r
Como sigma2=0 & -i i & 0, seu hermitiano é
l(sigma2r)^dag>=r = 0 & i -i & 0 = sigma2
Logo
Sy^dag>=r = hbar2,sigma2 = Sy,
ou seja, Sy é hermitiano.

Passo 3

Procuramos vetores
obtém-se vem e para vem . Tomando e normalizando, os autovetores normalizados de são
Como , os autovalores correspondentes são para e para .

Passo 4

Queremos escrever
|psirang<= = 10
na base |+rang<=,|-rang<=. Calculamos os coeficientes
c+ = lang<=+|psirang<= = 1raiz2(1,-,i)10 = 1raiz2,
c- = lang<=-|psirang<= = 1raiz2(1,,i)10 = 1raiz2
Portanto
|psirang<= = 1raiz2,|+rang<= + 1raiz2,|-rang<=

Passo 5

O valor médio de Sy no estado |psirang<= é
lang<= Syrang<= = lang<=psi|Sy|psirang<= = hbar2,lang<=psi|sigma2|psirang<=
Mas
lang<=psi|sigma2|psirang<= = 1&0 0 & -i i & 0 10 = 0,
logo lang<= Syrang<= = 0.

Passo 6

Se numa medida de Sy obtivemos o valor -hbar/2, o sistema colapsa para o autovetor associado, isto é
|-rang<= = 1raiz21 -i

Resposta

(a) é hermitiano pois .
(b) Os autovalores são e com autovetores normalizados
,
.
(c) .
(d) O valor médio é .
(e) Após medir , o estado é .

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