Verifique se o momento
p=-i hbar dd x
de uma partícula numa caixa é hermitiano.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o operador p=-ihbarddx de uma partícula numa caixa de comprimento a (onde as funções de onda satisfazem psi(0)=psi(a)=0) é hermitiano. Para isso vamos usar o produto interno e integrar por partes.

Passo 2

Escrevemos o produto interno
lang<= psi1|p,psi2rang<= = -ihbar integral0^a psi1^*(x),dpsi2(x)dx,dx

Passo 3

Aplicamos integração por partes na integral acima:
integral0^apsi1^*,dpsi2dx,dx =[psi1^*(x),psi2(x)]0^a - integral0^adpsi1^*dx,psi2(x),dx

Passo 4

Como psii(0)=psii(a)=0, o termo de contorno [psi1^*psi2]0^a desaparece. Logo
lang<= psi1|p,psi2rang<= = ihbar integral0^adpsi1^*dx,psi2,dx = integral0^al(-ihbardpsi1dxr)^*,psi2,dx = lang<= p,psi1|psi2rang<=,
o que mostra que p é hermitiano.

Resposta

O operador p=-ihbarddx é hermitiano no espaço de funções de onda que se anulam em x=0 e x=a, pois satisfaz
lang<= psi1|p,psi2rang<= = lang<= p,psi1|psi2rang<=

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