Num átomo de hidrogênio, um elétron faz a transição de \mathrm{n}_{\mathrm{i}}=5 para \mathrm{n}_{\mathrm{f}}=2 (série de Balmer).
a) Calcule o comprimento de onda \lambda(\mathrm{nm}) da radiação emitida. (resposta: \lambda=434 \mathrm{~nm} )
b) Identifique a cor aproximada dessa linha no espectro visível. (resposta: 434 nm corresponde ao azul-violeta (linha \mathrm{H} \gamma ) na série de Balmer.)
\frac{1}{\lambda}=R_{H}\left(\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}\right) \quad R_{H} \approx 1,09737 \times 10^{7} \mathrm{~m}^{-1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular o comprimento de onda da radiação emitida quando um elétron passa de \mathrm{n}_{\mathrm{i}}=5 para \mathrm{n}_{\mathrm{f}}=2.
  2. Identificar a cor aproximada dessa linha no espectro visível.
Informações dadas e constantes que vamos usar:
\frac{1}{\lambda}=R_{H}\left(\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}\right),
onde \displaystyle R_{H}\approx 1,09737\times 10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}, \mathrm{n}_{\mathrm{i}}=5 e \mathrm{n}_{\mathrm{f}}=2.
Queremos \lambda em nanômetros, ou seja, no final vamos converter metros para \mathrm{nm} sabendo que 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}.

Passo 2

Explicando a fórmula (fórmula de Rydberg) de maneira simples e passo a passo:
  • \lambda é o comprimento de onda da radiação emitida (unidade: metro se R_{H} estiver em \mathrm{m}^{-1}).
  • R_{H} é a constante de Rydberg para o hidrogênio (em \mathrm{m}^{-1}).
  • \mathrm{n}_{\mathrm{f}} é o número quântico final e \mathrm{n}_{\mathrm{i}} é o número quântico inicial.
    Quando \mathrm{n}_{\mathrm{i}}>\mathrm{n}_{\mathrm{f}} a quantidade entre parênteses é positiva e representa uma emissão de fóton. A equação dá 1/\lambda, portanto teremos que inverter para achar \lambda.

Passo 3

Calcular a diferença entre os inversos dos quadrados:
\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}=\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{5^{2}}=\frac{1}{4}-\frac{1}{25}.
Colocando em denominador comum 100:
\frac{1}{4}=\frac{25}{100},\qquad \frac{1}{25}=\frac{4}{100},
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\frac{1}{4}-\frac{1}{25}=\frac{25-4}{100}=\frac{21}{100}=0,21.

Passo 4

Substituir na fórmula de Rydberg e calcular 1/\lambda:
\frac{1}{\lambda}=R_{H}\cdot 0,21=\left(1,09737\times 10^{7}\right)\cdot 0,21\\ \mathrm{m}^{-1}.
Para facilitar a conta: 0,21=0,2+0,01, então
\left(1,09737\times 10^{7}\right)\cdot 0,2=2,19474\times 10^{6},
\left(1,09737\times 10^{7}\right)\cdot 0,01=1,09737\times 10^{5}.
Somando:
\frac{1}{\lambda}=2,19474\times 10^{6}+1,09737\times 10^{5}=2,304477\times 10^{6}\\ \mathrm{m}^{-1}.

Passo 5

Inverter para obter \lambda em metros:
\lambda=\frac{1}{2,304477\times 10^{6}}\\ \mathrm{m}=4,33947\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Converter para nanômetros ( 1\\ \mathrm{m}=10^{9}\\ \mathrm{nm}):
\lambda=4,33947\times 10^{-7}\times 10^{9}\\ \mathrm{nm}=433,947\\ \mathrm{nm}.
Arredondando para a precisão usual em espectroscopia, obtemos \lambda\approx 434\\ \mathrm{nm}, que bate com a resposta indicada.

Passo 6

Identificação da cor na faixa visível:
  • O espectro visível vai aproximadamente de 380\\ \mathrm{nm} (violeta) até 750\\ \mathrm{nm} (vermelho).
  • Valores próximos de 434\\ \mathrm{nm} estão na região azul-violeta do espectro.
    Portanto a linha corresponde ao azul-violeta e, na nomenclatura da série de Balmer, é a linha \mathrm{H}_{\gamma} (transição 5\to2).

Resposta

\lambda=434\\ \mathrm{nm}
azul-violeta (linha \mathrm{H}_{\gamma})

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