(1,0 pto) A equação
mostra que a equação
para o período de um pêndulo simples é uma aproximação que só é precisa quando o deslocamento angular
do pêndulo é pequeno. Para qual valor de
o erro de
é de
? Em seu cálculo, considere apenas o primeiro termo de correção da Eq. (1).
mostra que a equação
Passo 1
O enunciado fornece a expressão exata do período
do pêndulo simples como
Foi pedido: considerar somente o primeiro termo de correção (ou seja, manter apenas o termo com
) e encontrar o valor de
tal que o erro cometido ao usar a aproximação
seja de
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A primeira correção dentro da raiz é
. - A definição de erro percentual que vamos usar é o erro relativo no período:
.
Passo 2
Escrevendo o período aproximado mantendo só o primeiro termo de correção:
Aqui:
-
é o período no caso do pequeno ângulo (aproximação). - A segunda raiz
mostra a correção devido ao ângulo finito.
Passo 3
Definimos o erro relativo (em forma decimal) entre o período aproximado
e
:
O enunciado pede
, ou seja
em forma decimal. Portanto equacionamos:
Passo 4
Isolando a raiz e elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
Elevando ao quadrado:
Subtraindo 1:
Multiplicando por
:
Tomando raiz positiva (o seno pode ser positivo para ângulos pequenos/moderados):
Passo 5
Agora usamos a função inversa seno para obter
:
(Nota didática curta:
é a função que dá o ângulo cujo seno é o argumento; para valores como
obtém-se
numericamente — tabelas, uma calculadora ou aproximações locais podem ser usadas em prova se permitido.)
Passo 6
Multiplicando por
para obter
:
Convertendo para graus (útil para intuição):
, então
Passo 7
Interpretação final (rápida e motivadora): isso significa que, se o deslocamento angular for cerca de
, a fórmula simples
já erra cerca de
. Para ângulos muito menores a aproximação é bem melhor; para ângulos dessa ordem convém usar a correção mostrada.