(1,0 pto) A equação T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}\left(1+\frac{1^{2}}{2^{2}} \sin ^{2} \frac{\Theta}{2}+\frac{1^{2} \cdot 3^{2}}{2^{2} \cdot 4^{2}} \sin ^{4} \frac{\Theta}{2}+\cdots\right)}
mostra que a equação T=2 \pi \sqrt{L / g} para o período de um pêndulo simples é uma aproximação que só é precisa quando o deslocamento angular \theta do pêndulo é pequeno. Para qual valor de \theta o erro de T= 2 \pi \sqrt{L / g} é de 2,0 \% ? Em seu cálculo, considere apenas o primeiro termo de correção da Eq. (1).

Passo 1

O enunciado fornece a expressão exata do período T do pêndulo simples como
T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}\left(1+\frac{1^{2}}{2^{2}}\sin^{2}\frac{\theta}{2}+\frac{1^{2}\cdot3^{2}}{2^{2}\cdot4^{2}}\sin^{4}\frac{\theta}{2}+\cdots\right)}.
Foi pedido: considerar somente o primeiro termo de correção (ou seja, manter apenas o termo com \sin^{2}(\theta/2)) e encontrar o valor de \theta tal que o erro cometido ao usar a aproximação
T_{0}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}
seja de 2{,}0\%. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A primeira correção dentro da raiz é \dfrac{1^{2}}{2^{2}}\sin^{2}\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{1}{4}\sin^{2}\dfrac{\theta}{2}.
  • A definição de erro percentual que vamos usar é o erro relativo no período: \dfrac{T-T_{0}}{T_{0}}\times100\%.

Passo 2

Escrevendo o período aproximado mantendo só o primeiro termo de correção:
T\approx 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\;\sqrt{\,1+\frac{1}{4}\sin^{2}\frac{\theta}{2}\,}.
Aqui:
  • \;T_{0}=2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\; é o período no caso do pequeno ângulo (aproximação).
  • A segunda raiz \sqrt{\,1+\dfrac{1}{4}\sin^{2}\dfrac{\theta}{2}\,} mostra a correção devido ao ângulo finito.

Passo 3

Definimos o erro relativo (em forma decimal) entre o período aproximado T e T_{0}:
E=\frac{T-T_{0}}{T_{0}}=\sqrt{\,1+\frac{1}{4}\sin^{2}\frac{\theta}{2}\,}-1.
O enunciado pede E=2{,}0\%, ou seja E=0{,}02 em forma decimal. Portanto equacionamos:
\sqrt{\,1+\frac{1}{4}\sin^{2}\frac{\theta}{2}\,}-1=0{,}02.

Passo 4

Isolando a raiz e elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
\sqrt{\,1+\frac{1}{4}\sin^{2}\frac{\theta}{2}\,}=1{,}02.
Elevando ao quadrado:
1+\frac{1}{4}\sin^{2}\frac{\theta}{2}=1{,}02^{2}=1{,}0404.
Subtraindo 1:
\frac{1}{4}\sin^{2}\frac{\theta}{2}=0{,}0404.
Multiplicando por 4:
\sin^{2}\frac{\theta}{2}=4\cdot0{,}0404=0{,}1616.
Tomando raiz positiva (o seno pode ser positivo para ângulos pequenos/moderados):
\sin\frac{\theta}{2}=\sqrt{0{,}1616}=0{,}401995\ldots\approx0{,}4020.

Passo 5

Agora usamos a função inversa seno para obter \theta/2:
\frac{\theta}{2}=\arcsin(0{,}401995\ldots)\approx0{,}414\\ \text{rad}.
(Nota didática curta: \arcsin é a função que dá o ângulo cujo seno é o argumento; para valores como 0{,}402 obtém-se \arcsin numericamente — tabelas, uma calculadora ou aproximações locais podem ser usadas em prova se permitido.)

Passo 6

Multiplicando por 2 para obter \theta:
\theta\approx2\times0{,}414=0{,}828\\ \text{rad}.
Convertendo para graus (útil para intuição): 1\\ \text{rad}\approx57{,}2958^\circ, então
\theta\approx0{,}828\times57{,}2958\approx47{,}5^\circ.

Passo 7

Interpretação final (rápida e motivadora): isso significa que, se o deslocamento angular for cerca de 47{,}5^\circ, a fórmula simples T_{0}=2\pi\sqrt{L/g} já erra cerca de 2{,}0\%. Para ângulos muito menores a aproximação é bem melhor; para ângulos dessa ordem convém usar a correção mostrada.

Resposta

\theta\approx0{,}828\\ \text{rad}\approx47{,}5^\circ

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