Para o átomo de hidrogênio o estado fundamental é dado por:
(b) Calcule o raio médio do átomo de hidrogênio (veja como foi feito em aula e a resolução apresentada no moodle).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o raio médio do átomo de hidrogênio no estado fundamental. Isso envolve a função de onda que descreve o elétron nesse estado, que é
. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o valor esperado do raio usando essa função de onda.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber o que é o raio médio ou valor esperado do raio
. Em mecânica quântica, o valor esperado de uma quantidade física é o valor médio que esperaríamos medir se fizéssemos muitas medições desse sistema. Para calcular
, usamos a fórmula:
Aqui,
é a densidade de probabilidade de encontrar o elétron a uma distância
do núcleo, e
é o elemento de volume em coordenadas esféricas.
Passo 3
Vamos substituir a expressão de
na fórmula:
Calculando
:
Agora, substituímos na integral:
Simplificando:
Agora, resolvemos a integral. Sabemos que:
Aplicando isso com
e
:
Substituindo de volta na expressão de
:
Resposta
O raio médio do átomo de hidrogênio no estado fundamental é
.