Para o átomo de hidrogênio o estado fundamental é dado por:
psi100=1raizpi(1a0)^3 / 2 e^-r / a0
(b) Calcule o raio médio do átomo de hidrogênio (veja como foi feito em aula e a resolução apresentada no moodle).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o raio médio do átomo de hidrogênio no estado fundamental. Isso envolve a função de onda que descreve o elétron nesse estado, que é psi100. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o valor esperado do raio usando essa função de onda.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber o que é o raio médio ou valor esperado do raio lang<= r rang<=. Em mecânica quântica, o valor esperado de uma quantidade física é o valor médio que esperaríamos medir se fizéssemos muitas medições desse sistema. Para calcular lang<= r rang<=, usamos a fórmula:
lang<= r rang<= = integral0^infty r cdot |psi100(r)|^2 cdot 4pi r^2 dr
Aqui, |psi100(r)|^2 é a densidade de probabilidade de encontrar o elétron a uma distância r do núcleo, e 4pi r^2 dr é o elemento de volume em coordenadas esféricas.

Passo 3

Vamos substituir a expressão de psi100 na fórmula:
psi100 = 1raizpi(1a0)^3/2 e^-r / a0
Calculando |psi100(r)|^2:
|psi100(r)|^2 = (1raizpi(1a0)^3/2 e^-r / a0)^2 = 1pi(1a0)^3 e^-2r / a0
Agora, substituímos na integral:
lang<= r rang<= = integral0^infty r cdot 1pi(1a0)^3 e^-2r / a0 cdot 4pi r^2 dr
Simplificando:
lang<= r rang<= = 4a0^3 integral0^infty r^3 e^-2r / a0 dr
Agora, resolvemos a integral. Sabemos que:
integral0^infty x^n e^-lambda x dx = n!lambda^n+1
Aplicando isso com n=3 e lambda = 2a0:
integral0^infty r^3 e^-2r / a0 dr = 3!(2a0)^4 = 6(16a0^4) = 6 a0^416 = 3 a0^48
Substituindo de volta na expressão de lang<= r rang<=:
lang<= r rang<= = 4a0^3 cdot 3 a0^48 = 12 a08 = 32 a0

Resposta

O raio médio do átomo de hidrogênio no estado fundamental é lang<= r rang<= = 32, a0.

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