Para o átomo de hidrogênio o estado fundamental é dado por:
© Calcule a distância mais provável de encontrar um elétron no átomo de hidrogênio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá a função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio:
O que a gente precisa fazer é calcular a distância mais provável de encontrar o elétron nesse átomo. Basicamente, queremos saber em que valor de
a probabilidade de encontrar o elétron é máxima. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade em mecânica quântica e cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a probabilidade de encontrar o elétron em uma certa região é dada pelo quadrado da função de onda multiplicado pelo elemento de volume. No caso de sistemas esféricos, o elemento de volume é
. Então, a probabilidade
fica:
Passo 3
Vamos calcular
. A função de onda é real, então:
Passo 4
Substituindo
na expressão de
:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o valor de
que maximiza
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Vamos fazer essa derivada passo a passo.
Passo 6
Primeiro, derivamos
:
Usamos a regra do produto para derivar:
Simplificando:
Passo 7
Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto de máximo:
Como
nunca é zero, ficamos com:
Passo 8
Fatorando:
Então, as soluções são:
Passo 9
Analisando as soluções,
é o ponto mínimo, então a distância mais provável é:
Resposta
A distância mais provável de encontrar o elétron no átomo de hidrogênio é igual ao raio de Bohr, ou seja: