Um átomo de Hidrogênio no estado fundamental é submetido a um campo magnético Bz=0,55 T. (a) Calcule o desdobramento dos estados de spin. (b) Qual dos estados tem maior energia? (c) Qual a frequência da radiação necessária para excitar o átomo do estado de spin de menor energia para o de maior energia? Em que região do espectro eletromágnetico está esta radiação? (d) Seria possível observar experimentalmente esse desdobramento, com um único átomo? Explique. Como poderia observar experimentalmente esse desdobramento?
(a) Explique de forma qualitativa e quantitativa o príncipio de exclusão de Pauli e suas consequências. (b) Nos átomos polieletrônicos os elétrons são partículas idênticas de spin 1 / 2. Explique quais são as consequências deste fato nas propriedades atômicas.

Passo 1

O enunciado trata de um átomo de Hidrogênio no estado fundamental submetido a um campo magnético ,Bz=0,55:T. Na parte (a–d) vamos calcular o desdobramento de energia dos dois estados de spin, identificar qual é o de maior energia, achar a frequência da radiação que promove a transição entre eles e discutir a observação experimental desse efeito. Em seguida, pedem uma explicação qualitativa e quantitativa do princípio de exclusão de Pauli e as consequências do fato de os elétrons serem partículas idênticas de spin 1/2.

Passo 2

Para o spin do elétron a interação de Zeeman é dada por
HZ=-boldsymbolmucdot B,
onde
boldsymbolmu=-gs,muB, Shbar
é o momento magnético do elétron, com gsapprox2 e muB=9,274times10^-24:J/T. Tomando B=(0,0,Bz) e Sz=mshbar ( ms=pm12), obtemos os níveis
E(ms)=gs,muB,ms,Bz
Substituindo os valores
De<a E=El(ms=+tfrac12r)-El(ms=-tfrac12r) = gs,muB,Bz =2cdot9,274times10^-24cdot0,55 approx1,02times10^-23:J
Em elétron-volts,
De<a Eapprox1,02times10^-231,602times10^-19approx6,4times10^-5:eV

Passo 3

Como
E(ms)=gs,muB,ms,Bz,
o estado com ms=+tfrac12 tem
,E=+,12,gsmuBBz>0,
enquanto ms=-tfrac12 E<0. Logo, o estado ms=+tfrac12 é o de maior energia.
A frequência da radiação que causa a transição de ms=-tfrac12 para ms=+tfrac12 é
nu=De<a Eh =1,02times10^-236,626times10^-34 approx1,54times10^10:Hz
Isso corresponde à faixa de micro-ondas do espectro eletromagnético.

Passo 4

Com um único átomo o desdobramento é muito pequeno e sofre larga desestrutura devidas a flutuações e o próprio processo de detecção; não se observa facilmente esse efeito numa única partícula. Em geral usa-se um conjunto de átomos e técnicas de ressonância (EPR/ESR) para medir a absorção de micro-ondas, ou um feixe atômico em um separador de Stern–Gerlach para ver a divisão do feixe pelos dois valores de spin.

Passo 5

Qualitativamente, o princípio de exclusão de Pauli diz que “não existem dois elétrons no átomo com as mesmas quatro grandezas quânticas (n,ell,m,ms)”. Isso decorre do fato de elétrons serem férmions e sua função de onda total ser antissimétrica sob troca de partículas.

Passo 6

Quantitativamente, se psii(1) e psij(2) são estados monoeletrônicos, a função de onda de dois elétrons é o determinante de Slater
Psi(1,2)=1raiz2 psii(1)&psij(1) psii(2)&psij(2) ,
que muda de sinal se trocarmos 1 rightarrow 2. A condição Psi=0 se i=j implementa quantitativamente a exclusão.

Passo 7

Em átomos polieletrônicos o caráter idêntico e o spin 1/2 dos elétrons leva à construção de funções de onda antis
simbólicas, originando o preenchimento de camadas e subcamadas (estrutura eletrônica dos átomos), as regras de Hund (máxima multiplicidade, link entre spin e energia) e, em última instância, a ordem periódica dos elementos químicos.

Resposta

(a) De<a E=gsmuBBzapprox1,02times10^-23:J;(approx6,4times10^-5:eV)
(b) O estado ms=+tfrac12 tem maior energia.
(c) nu=De<a E/happrox1,54times10^10:Hz, na região de micro-ondas.
(d) Num único átomo o efeito é muito fraco e escondido por larguras naturais; observa-se em amostras macroscópicas via EPR/ESR ou separação de feixe em Stern–Gerlach.
Pauli (a) qualitativamente: não há dois elétrons com os mesmos (n,ell,m,ms). Quantitativamente: função de onda total antissimétrica, expressa por determinante de Slater, que anula estados idênticos. Consequência: preenchimento de camadas, energia de troca, regras de Hund.
(b) Como elétrons são férmions idênticos de spin 1/2, a antissimetria impõe regras de preenchimento, termos atômicos com diferentes multiplicidades, acasalamento de spins, efeitos de troca e configurações de energia que dão origem à tabela periódica e aos espectros de linhas atômicas.

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