Para um átomo de hidrogênio em um estado com l=3, calcule os valores permitidos de (a) L_{z} e (b) \theta. (c) Determine ainda a intensidade de \overrightarrow{\mathbf{L}}. Quando adequado, expresse as respostas em unidades de h.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos: o problema dá um átomo de hidrogênio num estado com l=3 e pede três coisas:
(a) os valores permitidos de L_{z};
(b) os valores permitidos do ângulo \theta entre o vetor momento angular \overrightarrow{\mathbf{L}} e o eixo z;
(c) a intensidade (módulo) de \overrightarrow{\mathbf{L}}.
Informação útil implícita: é esperado usar a quantização do momento angular orbital (valores discretos de L^{2} e L_{z}) e, quando adequado, expressar respostas em unidades de h (constante de Planck).

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicos que vamos usar (explicados devagar):
  • O número quântico orbital l é um inteiro não negativo; aqui l=3.
  • O operador L^{2} tem autovalores \hbar^{2}l(l+1). Isso significa que o módulo ao quadrado do momento angular mede:
L^{2} = \hbar^{2} l(l+1).
Aqui \hbar é a constante reduzida de Planck, \hbar=\dfrac{h}{2\pi}.
  • O componente L_{z} tem autovalores m\hbar, onde m é o número quântico magnético que pode assumir os valores inteiros
m = -l,\; -l+1,\; \dots,\; 0,\; \dots,\; l-1,\; l.
Ou seja, são 2l+1 valores igualmente espaçados.
  • O ângulo \theta entre \overrightarrow{\mathbf{L}} e o eixo z é obtido geometricamente por
\cos\theta = \frac{L_{z}}{|\overrightarrow{\mathbf{L}}|}.
Como L_{z} e |\overrightarrow{\mathbf{L}}| são dados pelos autovalores acima, podemos substituir e obter a relação quântica para \theta (vou derivar no próximo passo).

Passo 3

Valores permitidos de L_{z} para l=3:
  • Os valores de m são m=-3,-2,-1,0,1,2,3.
  • Portanto os autovalores de L_{z} são
L_{z}=m\hbar,\quad m=-3,\dots,3.
Como o enunciado pede, quando adequado, expresse em unidades de h. Usando \hbar=\dfrac{h}{2\pi} temos
L_{z}=m\frac{h}{2\pi},\quad m=-3,-2,-1,0,1,2,3.
Ou explicitamente (em unidades de h):
L_{z} \in \left\{-3\frac{h}{2\pi},\,-2\frac{h}{2\pi},\,-1\frac{h}{2\pi},\,0,\,1\frac{h}{2\pi},\,2\frac{h}{2\pi},\,3\frac{h}{2\pi}\right\}.

Passo 4

Derivação da fórmula do ângulo \theta passo a passo:
  • O módulo do momento angular é dado por
|\overrightarrow{\mathbf{L}}|=\sqrt{L^{2}}=\sqrt{\hbar^{2}l(l+1)}=\hbar\sqrt{l(l+1)}.
  • A razão que define o cosseno do ângulo é
\cos\theta=\frac{L_{z}}{|\overrightarrow{\mathbf{L}}|} =\frac{m\hbar}{\hbar\sqrt{l(l+1)}} =\frac{m}{\sqrt{l(l+1)}}.
Observe que o \hbar cancela: o ângulo depende apenas de l e m, não de h.
  • Portanto para cada m permitido calculamos
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{m}{\sqrt{l(l+1)}}\right).

Passo 5

Aplicando ao caso l=3:
  • Calcule \sqrt{l(l+1)}:
\sqrt{l(l+1)}=\sqrt{3\cdot 4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.
  • Assim
\cos\theta=\frac{m}{2\sqrt{3}}.
Agora vamos listar \theta para cada m. Vou dar a forma exata do cosseno e uma aproximação em graus (útil na prova):
Para m=3:
\cos\theta=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\Rightarrow\quad \theta=30^\circ.
Para m=2:
\cos\theta=\frac{2}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\quad\Rightarrow\quad \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx 54{,}7356^\circ.
Para m=1:
\cos\theta=\frac{1}{2\sqrt{3}}\quad\Rightarrow\quad \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)\approx 73{,}8970^\circ.
Para m=0:
\cos\theta=0\quad\Rightarrow\quad \theta=90^\circ.
Para m=-1:
\cos\theta=-\frac{1}{2\sqrt{3}}\quad\Rightarrow\quad \theta\approx 180^\circ-73{,}8970^\circ=106{,}1030^\circ.
Para m=-2:
\cos\theta=-\frac{1}{\sqrt{3}}\quad\Rightarrow\quad \theta\approx 180^\circ-54{,}7356^\circ=125{,}2644^\circ.
Para m=-3:
\cos\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\Rightarrow\quad \theta=150^\circ.
Essas são todas as direções quantizadas possíveis do vetor \overrightarrow{\mathbf{L}} em relação ao eixo z para l=3.

Passo 6

Cálculo final da intensidade (módulo) de \overrightarrow{\mathbf{L}} e expressão em unidades de h:
  • Partimos da fórmula já dada:
|\overrightarrow{\mathbf{L}}|=\hbar\sqrt{l(l+1)}.
  • Para l=3 temos \sqrt{l(l+1)}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}, logo
|\overrightarrow{\mathbf{L}}|=2\sqrt{3}\,\hbar.
  • Substituindo \hbar=\dfrac{h}{2\pi} para expressar em unidades de h:
|\overrightarrow{\mathbf{L}}|=2\sqrt{3}\cdot\frac{h}{2\pi}=\frac{\sqrt{3}}{\pi}\,h.
  • Se quiser uma aproximação numérica,
\frac{\sqrt{3}}{\pi}\approx\frac{1{,}73205}{3{,}14159}\approx 0{,}5513,
ou seja |\overrightarrow{\mathbf{L}}|\approx 0{,}5513\,h (unidade de momento-angular).

Resposta

(a) L_{z}=m\hbar=m\frac{h}{2\pi} com m=-3,-2,-1,0,1,2,3.\n
(b) \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{m}{\sqrt{l(l+1)}}\right)=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{m}{2\sqrt{3}}\right) para m=-3,\dots,3, numericamente:\n m=3:\theta=30^\circ\n m=2:\theta\approx 54{,}7356^\circ\n m=1:\theta\approx 73{,}8970^\circ\n m=0:\theta=90^\circ\n m=-1:\theta\approx 106{,}1030^\circ\n m=-2:\theta\approx 125{,}2644^\circ\n m=-3:\theta=150^\circ.\n
(c) |\overrightarrow{\mathbf{L}}|=\hbar\sqrt{l(l+1)}=2\sqrt{3}\,\hbar=\dfrac{\sqrt{3}}{\pi}\,h\approx 0{,}5513\,h.

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