Para um átomo de hidrogênio em um estado com
, calcule os valores permitidos de (a)
e (b)
. (c) Determine ainda a intensidade de
. Quando adequado, expresse as respostas em unidades de
.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos: o problema dá um átomo de hidrogênio num estado com
e pede três coisas:
(a) os valores permitidos de ;
(b) os valores permitidos do ângulo entre o vetor momento angular
e o eixo
;
(c) a intensidade (módulo) de .
Informação útil implícita: é esperado usar a quantização do momento angular orbital (valores discretos de e
) e, quando adequado, expressar respostas em unidades de
(constante de Planck).
(a) os valores permitidos de
(b) os valores permitidos do ângulo
(c) a intensidade (módulo) de
Informação útil implícita: é esperado usar a quantização do momento angular orbital (valores discretos de
Passo 2
Conceitos e fórmulas básicos que vamos usar (explicados devagar):
- O número quântico orbital
é um inteiro não negativo; aqui . - O operador
tem autovalores . Isso significa que o módulo ao quadrado do momento angular mede:
Aqui
é a constante reduzida de Planck,
.
- O componente
tem autovalores , onde é o número quântico magnético que pode assumir os valores inteiros
Ou seja, são
valores igualmente espaçados.
- O ângulo
entre e o eixo é obtido geometricamente por
Como
e
são dados pelos autovalores acima, podemos substituir e obter a relação quântica para
(vou derivar no próximo passo).
Passo 3
Valores permitidos de
para
:
- Os valores de
são . - Portanto os autovalores de
são
Como o enunciado pede, quando adequado, expresse em unidades de
. Usando
temos
Ou explicitamente (em unidades de
):
Passo 4
Derivação da fórmula do ângulo
passo a passo:
- O módulo do momento angular é dado por
- A razão que define o cosseno do ângulo é
Observe que o
cancela: o ângulo depende apenas de
e
, não de
.
- Portanto para cada
permitido calculamos
Passo 5
Aplicando ao caso
:
- Calcule
:
- Assim
Agora vamos listar
para cada
. Vou dar a forma exata do cosseno e uma aproximação em graus (útil na prova):
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Essas são todas as direções quantizadas possíveis do vetor
em relação ao eixo
para
.
Passo 6
Cálculo final da intensidade (módulo) de
e expressão em unidades de
:
- Partimos da fórmula já dada:
- Para
temos , logo
- Substituindo
para expressar em unidades de :
- Se quiser uma aproximação numérica,
ou seja
(unidade de momento-angular).
Resposta
(a)
com
.\n
(b) para
, numericamente:\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
.\n
(c) .
(b)
(c)