Encontre a razão das probabilidades de se achar o elétron de um átomo de hidrogênio em uma casca fina de raio de Bohr e em uma casca de mesma espessura a uma distância duas vezes maior.
Passo 1
O enunciado pede a razão entre as probabilidades de encontrar o elétron do átomo de hidrogênio em duas cascas esféricas finas de mesma espessura: uma localizada no raio de Bohr e outra localizada a uma distância duas vezes maior. Informações dadas e o que se pede:
- Raio interno da primeira casca:
(onde é o raio de Bohr). - Raio interno da segunda casca:
. - As duas cascas têm a mesma espessura infinitesimal, que chamaremos de
. - Pede-se a razão
, onde é a probabilidade de encontrar o elétron na casca fina em torno do raio .
Passo 2
Escolha do estado eletrônico e justificativa do método:
- O enunciado não especifica o estado excitado; em problemas padrão de probabilidade radial do elétron em hidrogênio costuma-se usar o estado fundamental (1s). Vou assumir que o elétron está no estado fundamental
do átomo de hidrogênio, pois é a hipótese natural quando nada mais é dito. - Método geral: usar a função de onda do estado
, calcular a densidade de probabilidade e multiplicar pelo elemento de volume da casca esférica fina, . Isso dá a probabilidade em uma casca fina de espessura ao redor de .
Passo 3
Função de onda do estado fundamental
e significado das constantes:
- A função de onda radial do estado
(normalizada) é
Explanação das partes:
-
é a amplitude de probabilidade do elétron no estado (depende só de , pois é esfericamente simétrica). -
é o raio de Bohr; é a unidade de comprimento característica do átomo de hidrogênio. - O fator
garante que a função de onda esteja normalizada: .
Passo 4
Densidade de probabilidade e probabilidade numa casca fina:
- A densidade de probabilidade volumétrica é
. Para o ,
- O volume de uma casca esférica de raio
e espessura é . - Então a probabilidade de encontrar o elétron entre
e é
ou seja
- Simplificando a expressão:
Comentário didático curto: note que
contém um termo
vindo do volume da casca (favorável a maiores
) e um termo exponencial
vindo da função de onda (favorecendo pequenos
). O balanço entre esses fatores dá a forma da probabilidade radial.
Passo 5
Escrever as probabilidades nas duas cascas e montar a razão:
- Probabilidade na casca em
:
- Probabilidade na casca em
:
- Agora a razão
: muitos fatores idênticos cancelam (o fator , o , e o comum). Fazendo as simplificações:
Passo 6
Simplificação final e interpretação:
- Simplificando a expressão obtida:
- Comentário intuitivo: mesmo que o fator
favoreça a casca mais externa (fator maior em comparado a ), o decaimento exponencial da função de onda domina, de modo que a casca em é mais provável por um fator .
Passo 7
Avaliação numérica aproximada:
- Como
, temos
Isto significa que é cerca de
vezes mais provável achar o elétron na casca em
do que numa casca de mesma espessura em
.