Encontre a razão das probabilidades de se achar o elétron de um átomo de hidrogênio em uma casca fina de raio de Bohr e em uma casca de mesma espessura a uma distância duas vezes maior.

Passo 1

O enunciado pede a razão entre as probabilidades de encontrar o elétron do átomo de hidrogênio em duas cascas esféricas finas de mesma espessura: uma localizada no raio de Bohr e outra localizada a uma distância duas vezes maior. Informações dadas e o que se pede:
  • Raio interno da primeira casca: r_1 = a_0 (onde a_0 é o raio de Bohr).
  • Raio interno da segunda casca: r_2 = 2a_0.
  • As duas cascas têm a mesma espessura infinitesimal, que chamaremos de dr.
  • Pede-se a razão \dfrac{P(r=a_0)}{P(r=2a_0)}, onde P(r) é a probabilidade de encontrar o elétron na casca fina em torno do raio r.

Passo 2

Escolha do estado eletrônico e justificativa do método:
  • O enunciado não especifica o estado excitado; em problemas padrão de probabilidade radial do elétron em hidrogênio costuma-se usar o estado fundamental (1s). Vou assumir que o elétron está no estado fundamental 1s do átomo de hidrogênio, pois é a hipótese natural quando nada mais é dito.
  • Método geral: usar a função de onda do estado 1s, calcular a densidade de probabilidade |\psi|^2 e multiplicar pelo elemento de volume da casca esférica fina, dV = 4\pi r^2 dr. Isso dá a probabilidade em uma casca fina de espessura dr ao redor de r.

Passo 3

Função de onda do estado fundamental 1s e significado das constantes:
  • A função de onda radial do estado 1s (normalizada) é
\psi_{100}(r)=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^{3}}}\,e^{-r/a_0}.
Explanação das partes:
  • \psi_{100}(r) é a amplitude de probabilidade do elétron no estado 1s (depende só de r, pois é esfericamente simétrica).
  • a_0 é o raio de Bohr; é a unidade de comprimento característica do átomo de hidrogênio.
  • O fator \dfrac{1}{\sqrt{\pi a_0^{3}}} garante que a função de onda esteja normalizada: \displaystyle\int_{\mathbb{R}^3}|\psi|^2 dV = 1.

Passo 4

Densidade de probabilidade e probabilidade numa casca fina:
  • A densidade de probabilidade volumétrica é |\psi_{100}(r)|^2. Para o 1s,
|\psi_{100}(r)|^2=\frac{1}{\pi a_0^{3}}\,e^{-2r/a_0}.
  • O volume de uma casca esférica de raio r e espessura dr é dV = 4\pi r^2 dr.
  • Então a probabilidade de encontrar o elétron entre r e r+dr é
P(r)=|\psi_{100}(r)|^2\,dV
ou seja
P(r)=\frac{1}{\pi a_0^{3}}\,e^{-2r/a_0}\cdot 4\pi r^2 dr.
  • Simplificando a expressão:
P(r)=\frac{4}{a_0^{3}}\, e^{-2r/a_0}\, r^2\, dr.
Comentário didático curto: note que P(r) contém um termo r^2 vindo do volume da casca (favorável a maiores r) e um termo exponencial e^{-2r/a_0} vindo da função de onda (favorecendo pequenos r). O balanço entre esses fatores dá a forma da probabilidade radial.

Passo 5

Escrever as probabilidades nas duas cascas e montar a razão:
  • Probabilidade na casca em r=a_0:
P(a_0)=\frac{4}{a_0^{3}}\, e^{-2a_0/a_0}\, a_0^{2}\, dr = \frac{4}{a_0^{3}}\, e^{-2}\, a_0^{2}\, dr.
  • Probabilidade na casca em r=2a_0:
P(2a_0)=\frac{4}{a_0^{3}}\, e^{-2(2a_0)/a_0}\, (2a_0)^{2}\, dr = \frac{4}{a_0^{3}}\, e^{-4}\, 4a_0^{2}\, dr.
  • Agora a razão \dfrac{P(a_0)}{P(2a_0)}: muitos fatores idênticos cancelam (o fator \dfrac{4}{a_0^{3}}, o a_0^{2}, e o dr comum). Fazendo as simplificações:
\frac{P(a_0)}{P(2a_0)}=\frac{e^{-2}}{4\,e^{-4}}.

Passo 6

Simplificação final e interpretação:
  • Simplificando a expressão obtida:
\frac{P(a_0)}{P(2a_0)}=\frac{e^{-2}}{4e^{-4}}=\frac{e^{2}}{4}.
  • Comentário intuitivo: mesmo que o fator r^2 favoreça a casca mais externa (fator 4 maior em 2a_0 comparado a a_0), o decaimento exponencial da função de onda domina, de modo que a casca em a_0 é mais provável por um fator \dfrac{e^{2}}{4}.

Passo 7

Avaliação numérica aproximada:
  • Como e^{2}\approx 7{,}389056, temos
\frac{e^{2}}{4}\approx 1{,}847264.
Isto significa que é cerca de 1{,}85 vezes mais provável achar o elétron na casca em a_0 do que numa casca de mesma espessura em 2a_0.

Resposta

\dfrac{e^{2}}{4}
1{,}847264

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