No estado fundamental de um átomo de hidrogênio, de acordo com a teoria de Bohr, qual é
a aceleração do elétron?

Passo 1

O problema pergunta: “No estado fundamental de um átomo de hidrogênio, de acordo com a teoria de Bohr, qual é a aceleração do elétron?”\n
Informações relevantes fornecidas / que usaremos:
\text{raio do estado fundamental (raio de Bohr): } a_0=5{,}29177210903\times10^{-11}\\ \mathrm{m}
\text{carga elementar: } e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}
\text{massa do elétron: } m_e=9{,}1093837015\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}é
\text{constante eletrostática (Coulomb): } k=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}=8{,}9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}á
Observação: vamos usar o modelo de Bohr onde o elétron descreve órbita circular de raio a_0 e a força centrípeta é dada pela força elétrica de Coulomb.

Passo 2

Vamos derivar a expressão da aceleração usando as leis físicas envolvidas, passo a passo, e explicar cada termo.\n
Força elétrica (Lei de Coulomb) entre núcleo (carga +e) e elétron (carga -e):
F_\text{Coulomb}=\frac{k\,e^2}{r^2}
onde r é o raio da órbita; k é a constante elétrica indicada acima; e é a carga do elétron.\n
Força centrípeta necessária para manter o elétron em movimento circular de velocidade v e raio r:
F_\text{centripeta}=m_e\frac{v^2}{r}
onde m_e é a massa do elétron e v sua velocidade orbital.\n
No modelo de Bohr, essas forças se equilibram:
m_e\frac{v^2}{r}=\frac{k\,e^2}{r^2}.
A aceleração centrípeta (magnitude) é a=\dfrac{v^2}{r}. Isolando a da igualdade acima obtemos:
a=\frac{v^2}{r}=\frac{k\,e^2}{m_e\,r^2}.
Aqui a é a aceleração radial dirigida para o centro da órbita (módulo da aceleração).

Passo 3

Aplicamos a fórmula ao estado fundamental, onde r=a_0. Assim:
a=\frac{k\,e^2}{m_e\,a_0^2}.
Agora faremos as contas numéricas passo a passo (cada valor numérico será mostrado com notação científica). Primeiro calculamos e^2:
e^2=(1{,}602176634\times10^{-19})^2=2{,}5669699\times10^{-38}\\ \mathrm{C^2}.
Em seguida k\,e^2:
k\,e^2=(8{,}9875517923\times10^{9})\times(2{,}5669699\times10^{-38})=2{,}3064\times10^{-28}\\ \mathrm{N\cdot m^2}.
Agora calculamos a_0^2:
a_0^2=(5{,}29177210903\times10^{-11})^2=2{,}8002852\times10^{-21}\\ \mathrm{m^2}.
Multiplicamos m_e\,a_0^2:
m_e\,a_0^2=(9{,}1093837015\times10^{-31})\times(2{,}8002852\times10^{-21})=2{,}5506\times10^{-51}\\ \mathrm{kg\cdot m^2}.
Finalmente dividimos para obter a aceleração:
a=\frac{2{,}3064\times10^{-28}}{2{,}5506\times10^{-51}}=9{,}04\times10^{22}\\ \mathrm{m/s^2}.
Expliquei cada multiplicação e divisão para que você possa refazer as contas à mão ou verificar com uma calculadora rápida.

Passo 4

Checagem alternativa (controle de consistência): no modelo de Bohr a velocidade no estado fundamental é v=\alpha c, onde \alpha é a constante de estrutura fina \alpha\approx1/137{,}036 e c é a velocidade da luz c\approx2{,}99792458\times10^8\\ \mathrm{m/s}. Assim
v\approx2{,}1876913\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
Daí
a=\frac{v^2}{a_0}=\frac{(2{,}1876913\times10^{6})^2}{5{,}29177210903\times10^{-11}}\approx9{,}05\times10^{22}\\ \mathrm{m/s^2},
o que confirma o valor obtido no passo anterior (pequima diferença de arredondamento). Isso dá confiança no resultado.

Passo 5

Interpretação curta e incentivo: o valor é enorme (ordem de 10^{23}\\ \mathrm{m/s^2}), o que indica que o elétron, embora leve e pequeno, sofre uma aceleração centrípeta extremamente grande na órbita de Bohr. Você conseguiu acompanhar até aqui — está indo bem! Essas contas são rotineiras em provas quando pedem ordens de grandeza no modelo de Bohr.

Resposta

9{,}04\times10^{22}\\ \mathrm{m/s^2}

Exercícios relacionados