Mostre que a Eq. 47-33 é uma versão aceitável do princípio da incerteza
. (Sugestão: Multiplique por
; associe
com
e
com
.)
Passo 1
O que o problema pede: mostrar que a equação
pode ser transformada numa forma aceitável (a chamada Eq. 47-33) usando as dicas dadas. Dados / sugestões fornecidas no enunciado que vamos usar sem perguntar nada: multiplicar por
; associar
com
; associar
com
. Não vamos ainda resolver, apenas listamos o que temos e o que queremos obter.
Passo 2
Multiplicar a igualdade por
(que é igual a 1, logo não altera a igualdade). Partindo de
multiplicamos ambos os lados por
e obtemos
Aqui usei a propriedade distributiva da multiplicação em produtos:
.
Passo 3
Interpretar
como uma incerteza angular
. Se
é um deslocamento ao longo de uma circunferência de raio
, a relação entre arco
e ângulo
(em radianos) é
Diferenciando/variação, para pequenas variações ou de forma exata para arcos correspondentes, temos
logo
Importante: usar radianos é essencial — a fórmula
vale quando
está em radianos.
Passo 4
Interpretar
como a incerteza do momento angular
. Sabendo que o momento linear é
e o momento angular (para movimento circular em torno do eixo) é
temos que
Se
é fixo (raio constante), então a incerteza do produto é simplesmente
(Explicação: em situações em que
não varia significativamente, a incerteza de
é dominada por
multiplicado por
; isso é a suposição implícita ao associar incertezas.)
Passo 5
Substituindo as duas interpretações no produto que obtivemos em
Passo 6
Pela igualdade do passo 2, isso dá
Assim mostramos que, sob as associações sugeridas (
,
) e tomando
, a forma angular da incerteza é
que é exatamente a forma que se espera (Eq. 47-33).
Passo 7
Discussão rápida e interpretativa (útil para a prova): a transformação foi apenas um reconhecimento geométrico (comprimento de arco versus ângulo) e físico (momentum linear versus momento angular). As suposições que usamos são:
aproximadamente constante (movimento circular ou coordenada polar com raio fixo) e ângulos medidos em radianos. Na formulação mais rigorosa da incerteza costuma-se escrever uma desigualdade com
,
mas seguir a igualdade usada no enunciado é aceitável como versão ilustrativa; a demonstração acima mostra claramente a origem dessa forma angular.