Mostre que a Eq. 47-33 é uma versão aceitável do princípio da incerteza \Delta p \cdot \Delta x=h / 2 \pi. (Sugestão: Multiplique por r / r; associe p com m v e L com m v r.)

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que a equação \Delta p \cdot \Delta x = \dfrac{h}{2\pi} pode ser transformada numa forma aceitável (a chamada Eq. 47-33) usando as dicas dadas. Dados / sugestões fornecidas no enunciado que vamos usar sem perguntar nada: multiplicar por r/r; associar p com m v; associar L com m v r. Não vamos ainda resolver, apenas listamos o que temos e o que queremos obter.

Passo 2

Multiplicar a igualdade por r/r (que é igual a 1, logo não altera a igualdade). Partindo de
\Delta p \cdot \Delta x = \frac{h}{2\pi}
multiplicamos ambos os lados por \dfrac{r}{r} e obtemos
\bigl(\Delta p \cdot r\bigr)\,\bigl(\Delta x / r\bigr) = \frac{h}{2\pi}.
Aqui usei a propriedade distributiva da multiplicação em produtos: (\Delta p)(\Delta x) = (\Delta p\,r)\,(\Delta x/r).

Passo 3

Interpretar \Delta x / r como uma incerteza angular \Delta \theta. Se x é um deslocamento ao longo de uma circunferência de raio r, a relação entre arco x e ângulo \theta (em radianos) é
x = r\theta.
Diferenciando/variação, para pequenas variações ou de forma exata para arcos correspondentes, temos
\Delta x = r\,\Delta \theta,
logo
\Delta \theta = \frac{\Delta x}{r}.
Importante: usar radianos é essencial — a fórmula x=r\theta vale quando \theta está em radianos.

Passo 4

Interpretar \Delta p \cdot r como a incerteza do momento angular \Delta L. Sabendo que o momento linear é p = m v e o momento angular (para movimento circular em torno do eixo) é
L = m v r,
temos que
p\,r = (m v)\,r = m v r = L.
Se r é fixo (raio constante), então a incerteza do produto é simplesmente
\Delta(p\,r) = r\,\Delta p = \Delta L.
(Explicação: em situações em que r não varia significativamente, a incerteza de p r é dominada por \Delta p multiplicado por r; isso é a suposição implícita ao associar incertezas.)

Passo 5

Substituindo as duas interpretações no produto que obtivemos em

Passo 6

(\Delta p\;r)\;(\Delta x / r) = \Delta L \cdot \Delta \theta.
Pela igualdade do passo 2, isso dá
\Delta L \cdot \Delta \theta = \frac{h}{2\pi}.
Assim mostramos que, sob as associações sugeridas ( p\leftrightarrow m v, L\leftrightarrow m v r) e tomando x=r\theta, a forma angular da incerteza é
\Delta L \cdot \Delta \theta = \frac{h}{2\pi},
que é exatamente a forma que se espera (Eq. 47-33).

Passo 7

Discussão rápida e interpretativa (útil para a prova): a transformação foi apenas um reconhecimento geométrico (comprimento de arco versus ângulo) e físico (momentum linear versus momento angular). As suposições que usamos são: r aproximadamente constante (movimento circular ou coordenada polar com raio fixo) e ângulos medidos em radianos. Na formulação mais rigorosa da incerteza costuma-se escrever uma desigualdade com \hbar=\dfrac{h}{2\pi},
\Delta L \,\Delta \theta \gtrsim \hbar,
mas seguir a igualdade usada no enunciado é aceitável como versão ilustrativa; a demonstração acima mostra claramente a origem dessa forma angular.

Resposta

\Delta L \cdot \Delta \theta = \dfrac{h}{2\pi}

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