O átomo de hidrogênio obtido pela solução da Equação de Schrödinger resulta nos mesmos autovalores de energia do átomo descrito por Bohr, equação abaixo.
Levando em conta o acoplamento spin-órbita, solução de Dirac, as energias para o átomo de hidrogênio continuam as mesmas apresentadas por Bohr? Discuta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre comparar as energias do átomo de hidrogênio obtidas pela Equação de Schrödinger com as do modelo de Bohr. Além disso, queremos saber se, ao considerar o acoplamento spin-órbita e usar a solução da Equação de Dirac, essas energias continuam as mesmas. Para resolver isso, vamos precisar entender os modelos de Bohr e Schrödinger, o que é o acoplamento spin-órbita e como a Equação de Dirac altera a gente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do modelo de Bohr. Bohr propôs que os elétrons giram em órbitas fixas ao redor do núcleo e que só certas órbitas são permitidas, cada uma com uma energia específica. A fórmula que descreve essas energias é:
Aqui,
é a energia do nível
,
é a massa do elétron,
é a carga do elétron,
é a permissividade do vácuo,
é a constante de Planck e
é o número quântico principal.
Passo 3
Depois, a gente tem a Equação de Schrödinger, que é mais avançada e faz parte da mecânica quântica. Para o átomo de hidrogênio, ao resolver essa equação, a gente encontra os mesmos níveis de energia que Bohr descreveu. Ou seja, a Equação de Schrödinger confirma que as energias dos níveis são dadas por aquela fórmula do Bohr.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre o acoplamento spin-órbita. Esse é um efeito que acontece porque o elétron tem spin (uma propriedade quântica tipo rotação) e, por isso, interage com o campo magnético gerado pela sua própria órbita ao redor do núcleo. Isso faz com que os níveis de energia se dividam um pouco mais, criando o que chamamos de estrutura fina das linhas espectrais.
Passo 5
Para tratar esses efeitos mais detalhados, usamos a Equação de Dirac, que é uma versão relativística da Equação de Schrödinger. A Equação de Dirac leva em conta não só o movimento do elétron, mas também seu spin e a teoria da relatividade especial. Ao resolver a Equação de Dirac para o átomo de hidrogênio, encontramos que as energias dos níveis sofrem pequenas correções devido ao acoplamento spin-órbita e outros efeitos relativísticos.
Passo 6
Então, considerando tudo isso, ao incluir o acoplamento spin-órbita e usar a solução da Equação de Dirac, as energias dos níveis do átomo de hidrogênio não ficam exatamente iguais às do modelo de Bohr. Há pequenas diferenças que tornam as previsões mais precisas, explicando detalhes observados no espectro do hidrogênio que o modelo de Bohr sozinho não consegue.
Resposta
Não, ao considerar o acoplamento spin-órbita e utilizar a solução da Equação de Dirac, as energias do átomo de hidrogênio apresentam pequenas correções em relação às previstas pelo modelo de Bohr, resultando em uma estrutura fina mais precisa das linhas espectrais.